Введение
Глава 1. Численные инструменты для моделирования и исследования нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений 15
1.1. Устойчивость численного интегрирования дифференциальных уравнений с периодическими решениями 15
1.2. Численное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом 24
1.3. Решение систем параболических уравнений на отрезке 31
1.3.1. Схема решения, ее устойчивость и погрешность аппроксимации 31
1.3.2. Аппроксимация граничных условий для второй краевой задачи 35
1.4. Приближенный метод нахождения гомоклинических и гетероклинических решений особых точек в системах обыкновенных дифференциальных уравнений 37
1.4.1. Гетероклинические решения седло-узлов и седло-фокусов 37
1.4.2. Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-фокуса 46
1.4.3. Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-узла 51
1.5. Другие численные инструменты 57
1.6. Выводы 61
Глава 2. Переход к хаосу в диссипативных нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений 64
2.1. Система уравнений Лоренца 64
2.1.1. Сценарий рождения аттрактора Лоренца через неполный двойной гомоклинический каскад бифуркаций 65
2.1.2. Сценарий рождения полного двойного гомоклинического аттрактора в системе Лоренца 78
2.2. Другие системы обыкновенных дифференциальных уравнений . 85
2.2.1. Системы уравнений Валлиса 85
2.2.2. Системы уравнений Рёсслера 93
2.2.3. Модель реакции Белоусова-Жаботинского 98
2.2.4. Модель Вольтерра-Гаузе 101
2.2.5. Система Чуа 104
2.2.6. Система "Simple" 108
2.2.7. Система Рабиновича и Фабриканта 110
2.2.8. Макроэкономическая модель Магницкого 114
2.2.9. Пример Магницкого 116
2.2.10. Система Рикитаки 117
2.2.11. Комплексная система дифференциальных уравнений Лоренца 122
2.3. Динамический хаос в дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом 127
2.4. Неавтономные двумерные системы дифференциальных уравнений 129
2.4.1. Уравнение Дюффинга-Холмса 129
2.4.2. Уравнение Матье 131
2.4.3. Система уравнений Крокета 132
2.4.4. Уравнение Краснощекова 134
2.5. Выводы 135
Глава 3. Пространственно-временной динамический хаос . 137
3.1. Модель диффузионного хаоса в маломодовом приближении 138
3.2. Динамический хаос в распределенной системе дифференциальных уравнений 145
3.2.1. Переход к хаосу в пространстве коэффициентов Фурье 146
3.2.2. Переход к хаосу в фазовом пространстве уравнения Курамото-Цузуки 154
3.3. Диффузионный хаос в модели брюсселятора 163
3.3.1. Первая краевая задача 164
3.3.2. Вторая краевая задача 166
3.4. Выводы 167
Глава 4. Основы теории перехода к хаосу в диссипативных нелинейных системах дифференциальных уравнений 170
4.1. Динамика мультипликаторов в каскадах бифуркаций удвоения периода предельных циклов 170
4.2. Свойства особой точки "ротор" в двумерных неавтономных системах 174
4.3. Образование динамического хаоса в трехмерных диссипативных автономных системах дифференциальных уравнений 184
4.4. Динамический хаос в многомерных системах. Универсальность механизма образования хаоса в диссипативных системах дифференциальных уравнений 198
4.5. Структура решений. Классификация сингулярных хаотических аттракторов 201
4.5.1. Структура решений в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений 201
4.5.2. Классификация сингулярных хаотических аттракторов 206
4.6. Выводы 209
Глава 5. Применение теории динамического хаоса в математическом моделировании 212
5.1. Локализация и стабилизация неустойчивых решений в хаотических динамических системах 212
5.1.1. Стабилизация неустойчивых неподвижных точек в уравнениях с запаздывающим аргументом 213
5.1.2. Стабилизация термодинамической ветви в системах дифференциальных уравнений вида реакция-диффузия 219
5.1.3. Локализация и стабилизация неустойчивых циклов хаотических систем обыкновенных дифференциальных уравнений 228
5.1.4. Локализация и стабилизация неустойчивых циклов в уравнениях с запаздывающим аргументом 235
5.2. Бегущие волны в активных средах и динамический хаос 238
5.2.1. Бегущие волны в осциллирующей среде 240
5.2.2. Бегущие волны в уравнении вида реакция-диффузия с переносом 242
5.2.3. Бегущие волны в возбудимой среде 245
5.3. Идентификация динамической системы по траектории 247
5.4. Численный подход к исследованию гамильтоновых систем 258
5.5. Выводы 264
Заключение 266
Список литературы. 270
