Введение
1. Математическая модель 17
1.1. Схема методов отображений 17
1.2. Базисные уравнения 21
1.2.1. Уравнения Бельтрами 21
1.2.2. Уравнения диффузии 24
1.3. Управляющая метрика 26
1.3.1. Формулировка элементов управляющей метрики . 27
1.3.2. Вычисление метрических компонент 28
1.3.3. Формулы основных управляющих метрик 29
1.4. Обращенные уравнения 37
1.4.1. Обращенные уравнения Бельтрами 38
1.4.2. Обращенные уравнения диффузии 39
2. Описание численных алгоритмов 40
2.1. Приведение обращенных уравнений Бельтрами и диффузии к виду, удобному для численной реализации 41
2.2. Вычислительный алгоритм для одномерного уравнения . 44
2.2.1. Итерационная схема 45
2.3. Вычислительный алгоритм для двумерного уравнения . 46
2.3.1. Итерационная схема 47
2.3.2. Начальное приближение 53
2.3.3. Особенности численного нахождения метрических компонент 56
2.3.4. Построение сеток с плохих начальных данных . 59
2.4. Вычислительный алгоритм для построения пространственных сеток 60
2.4.1. Итерационная схема 62
2.4.2. Начальное приближение 65
2.5. Программный инструментарий 67
3. Численная реализация 70
3.1. Построение одноблочных сеток 70
3.1.1. Использование функций слойного типа для управления качественными свойствами управляющей метрики 70
3.1.2. Конструирование сеток, согласованных с векторным полем 73
3.1.3. Конструирование сгущающихся сеток 74
3.1.4. Конструирование сбалансированных сеток 81
3.2. Построение гладких блочных сеток 83
3.2.1. Сглаживание при помощи интерполяции 83
3.2.2. Сглаживание при помощи сеточных уравнений . 85
3.2.3. Пример использования сеток с отверстиями 89
4. Решение сингулярно возмущенных уравнений с использованием адаптивных сеток 92
4.1. Одномерное сингулярно возмущенное уравнение 94
4.1.1. Метод координатных преобразований для нахождения численного решения сингулярно возмущенных уравнений 95
4.1.2. Связь с обращенными уравнениями Вельтрами . 96
4.1.3. Понятие обратной монотонности 97
4.1.4. Оценки на производные решения 98
4.1.5. Численная реализация 105
4.1.6. Решение задачи без использования оценок 108
4.2. Решение двумерной сингулярно возмущенной задачи . 109
4.2.1. Задание метрики НО
4.2.2. Преобразование задачи 113
4.2.3. Результаты расчетов 116
Заключение 119
Библиографический список 121
