Введение
Глава I. Основные определения. 19
1 Общие определения. 19
2 Определение многомерной цепной дроби. 22
2.1 Многомерные цепные дроби по Клейну 22
2.2 О взаимосвязи между одномерными цепными дробями по Клейну и обыкновенными цепными дробями 22
2.3 Многомерные цепные дроби, связанные с общим гиперболическим оператором 23
2.4 Определение n-мерной цепной дроби (п + 1)-алгебраической иррациональности. Обобщения теоремы Лагранжа 25
3 Целочисленные инварианты и разбиения торов. 27
3.1 Некоторые примеры целочисленно-линейных и целочисленно-аф-финных инвариантов 27
3.2 Целочисленные расстояния и углы между целыми плоскостями, разбиения тора 29
Глава II. Двумерные грани. 32
4 Формулировка основной теоремы. 34
5 Предварительные определения и утверждения. 36
5.1 Предварительные определения и обозначения 36
5.2 Утверждение о специальных сечениях целого параллелепипеда 37
5.2.1 Лемма о специальных сечениях целого параллелепипеда с пустой гранью 38
5.2.2 Доказательство утверждения 5.5 39
5.3 Следствие о целочисленных расстояниях между противополож ными вершинами и плоскостями граней пустого тетраэдра 40
6 Вспомогательное следствие о пустых целых тетраэдрах. 42
6.1 Лемма об одном узле решётки 43
6.2 Доказательство следствия 6.2 44
6.3 Классификация пустых треугольных отмеченных пирамид 47
6.4 Классификация пустых тетраэдров 50
7 Доказательство теоремы 4.1: многоугольные отмеченные пира миды. 52
7.1 Утверждение о целом параллелограмме внутри целого многоугольника 53
7.2 Случай пустой отмеченной пирамиды с пустым параллелограммом в основании 55
7.3 Случай вполне пустой отмеченной пирамиды с целым параллелограммом в основании с единственной целой точкой внутри 56
7.4 Общий случай 58
8 Доказательство теоремы 4.1: треугольные отмеченные пирами ды. 61
8.1 Случай 1: треугольное основание содержит целый многоугольник. 61
8.2 Случай 2: целые точки основания, отличные от его вершин, не лежат на одной прямой 62
8.3 Случай 3: целые точки основания, отличные от его вершин, лежат на одной прямой, первый вариант расположения прямой 65
8.4 Случай 4: целые точки основания, отличные от его вершин, лежат на одной прямой, второй вариант расположения прямой 71
8.5 Случай 5: целые точки основания, отличные от его вершин, лежат на одной стороне основания 77
8.6 Неизбыточность списка "M-W" теоремы 4.1 81
9 Классификация компактных двумерных граней. 81
9.1 Теорема Муссафира 81
9.2 Формулировки классификационных утверждений о двумерных гранях 82
10 Доказательство теоремы 9.2. 87
10.1 Полнота списков "а„" теоремы 9.2 при п > 2 87
10.2 Реализуемость граней из списков "ап" при п > 2 90
10.2.1 Реализуемость треугольных граней 90
10.2.2 О реализуемости многоугольных граней 91
10.2.3 О реализуемости граней из списков "ап" при п > 2 92
10.3 Неэквивалентность граней из списка "а„" (при п > 2) 92
10.4 О многоугольных гранях двумерных цепных дробей 93
11 Неисследованные задачи. 93
Глава III. О новом алгоритме. 101
12 Описание нового алгоритма. 101
12.1 Основная схема алгоритма 101
12.2 Основные элементы алгоритма 102
13 Общие вопросы, относящиеся к базисам решётки. 104
13.1 Теорема о специальном базисе внутри целого параллелепипеда . 104
13.2 Шаг 1. Вычисление базиса аддитивной группы кольца (А). Юб
13.3 Шаг 2. Вычислить базис группы S(A) 109
14 О фундаментальных областях и аппроксимациях парусов. 110
14.1 Шаг 3. Нахождение некоторой вершины паруса 110
14.2 Шаг 4. Выдвижение гипотезы о фундаментальной области паруса. 111
15 Проверка выдвинутых гипотез в двумерном случае. 113
15.1 Краткое описание этапов проверки и формулировка основных результатов этого раздела 113
15.2 Доказательство теоремы 15.1: проверка условия і) 115
15.3 Доказательство теоремы 15.1: проверка условия и) 117
15.4 Доказательство теоремы 15.1: вычисление целочисленных расстояний от начала координат до двумерных плоскостей двумерных граней 118
15.5 Доказательство теоремы 15.1: проверка наличия целых точек внутри отмеченных пирамид с вершинами в начале координат и с основаниями в двумерных гранях Fj 121
15.6 Доказательство теоремы 15.1: проверка выпуклости при двугранных углах 122
15.7 Доказательство теоремы 15.1: проверка правильности 2-звёзд при вершинах 123
15.8 Проверка принадлежности всех нульмерных граней набора D одному ортанту; завершение доказательства теоремы 15.1 124
15.9 Доказательство теоремы 15.3: лемма об инъективности проекции на гранях 125
15.10Доказательство теоремы 15.3: лемма о конечном покрытии фун даментальной области 127
15.11 Доказательство теоремы 15.3: лемма о взаимно-однозначности проекции 128
15.12Доказательство теоремы 15.3: лемма о выпуклости 130
15.133авершение доказательства теоремы 15.3: основная часть 131
16 О проверке гипотез для многомерного случая. 132
Глава IV. Примеры. 134
17 Семейство фробениусовых операторов и его свойства. 134
17.1 Определение фробениусовых операторов 134
17.2 Простейшие свойства фробениусовых операторов 136
17.3 Цепные дроби и характеристические многочлены соответствующих операторов 138
18 Фундаментальные области некоторых серий операторов Ат<п 139
18.1 Фундаментальные области первого двупараметрического семейства: формулировка результата и выдвижение гипотезы 139
18.2 Проверка гипотезы теоремы 18.1 140
18.3 Фундаментальные области первого однопараметрического семейства 148
18.4 Фундаментальные области второго однопараметрического семейства 149
18.5 Фундаментальные области третьего однопараметрического семейства 151
18.6 Фундаментальные области второго двупараметрического семейства. 152
18.7 О построении парусов новых серий двумерных цепных дробей.
