Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Глава 1. Метод множителей Лагранжа в задаче конечномерного
выпуклого программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1 Функция чувствительности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Метод решения двойственной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Применение метода для численного решения конечномерной
задачи Синьорини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 Постановка задачи Синьорини . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Аппроксимация и алгоритм решения . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 Результаты вычислительных экспериментов . . . . . . . . . 25
Глава 2. Модельная задача теории упругости с трещиной . . . . . . . . 27
2.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Метод решения модельной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Определение модифицированного функционала Лагранжа . 29
2.2.2 Функционал чувствительности . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Свойства модифицированного функционала . . . . . . . . . 36
2.3 Численное решение модельной задачи с трещиной . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Аппроксимация и алгоритм поиска седловой точки . . . . . 44
2.3.2 Результаты вычислительных экспериментов . . . . . . . . . 46
Глава 3. Устойчивый метод решения полукоэрцитивной контактной
задачи для двух упругих тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Модифицированная схема двойственности . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1 Определение модифицированного функционала Лагранжа . 53
3.2.2 Функционал чувствительности . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Итеративная проксимальная регуляризация
модифицированного функционала Лагранжа . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Задача с учетом трения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5 Численное решение задачи контакта двух тел . . . . . . . . . . . . . 73
3.5.1 Аппроксимация и алгоритм поиска седловой точки . . . . . 74
3
Стр.
3.5.2 Результаты вычислительных экспериментов . . . . . . . . . 75
3.5.3 Результаты вычислительных экспериментов
для задачи с учетом трения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5.4 Результаты вычислительных экспериментов с
обобщенным методом Ньютона для решения
коэрцитивной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Глава 4. Задача о теле, содержащем тонкий дефект с параметром . . . 83
4.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Разрешимость и единственность задачи . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3 Метод решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.1 Классический функционал Лагранжа . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.2 Модифицированный функционал Лагранжа . . . . . . . . . 89
4.4 Аппроксимация задачи и сходимость метода конечных элементов . 89
4.5 Алгоритм Удзавы и обобщенный метод Ньютона . . . . . . . . . . . 92
4.6 Результаты вычислительных экспериментов . . . . . . . . . . . . . 95
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Публикации автора по теме диссертации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Приложение А. Листинги программных кодов . . . . . . . . . . . . . . . 114
А.1 Задача Синьорини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
А.2 Модельная задача с трещиной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
А.3 Задача контакта двух тел с учетом трения . . . . . . . . . . . . . . . 126
А.4 Задача о теле с дефектом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
