Введение
1 Нормальные формы для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами 14
1 Нормальная форма Пуанкаре 15
1.1.1 Основные теоремы 16
1.1.2 Нормальная форма уравнений мелкой воды для больших пространственных масштабов 21
1.1.3 Нормальная форма уравнений мелкой воды на бета-плоскости в средних широтах 24
1.1.4 Нормальная форма уравнений мелкой воды для коротких волн на экваториальной бета-плоскости 30
2 Кососимметричная нормальная форма 37
1.2.1 Кососимметричные градиентные системы 38
1.2.2 Кососимметричная нормальная форма 40
1.2.3 Ионно-звуковые волны в сильном магнитном поле 41
3 Теорема Дарбу 46
1.3.1 Конечномерные системы 46
1.3.2 Пример 49
1.3.3 Полевые системы 52
1.3.4 Примеры 55
4 Скобки Пуассона с нулевой трансверсалыюй частью 61
1.4.1 Движение без внешних сил 62
1.4.2 Движение под действием внешних сил 66
1.4.3 Двумерное уравнение Буссинеска 69
5 Основные результаты по главе 71
2 Разделение медленного и быстрого движений для уравнений мелкой воды на /-плоскости 73
1 Медленное многообразие для двумерных уравнений мелкой воды 74
2.1.1 Медленное многообразие и уравнения движения на нем 75
2.1.2 Динамическая и статическая инициализация 79
2 Разделение движений в спектральном виде 82
2.2.1 Формальные быстрое и медленное многообразия 83
2.2.2 Нормальные формы 86
3 Фронтальное геострофическое приспособление, медленное многообразие и нелинейные волновые явления в одномерной модели 87
2.3.1 Постановка задачи о геострофическом приспособлении 88
2.3.2 Общие свойства одномерной модели 91
2.3.3 Лагранжев подход 92
2.3.4 Возмущенное полугеострофическое приспособление 96
2.3.5 Непертурбативное медленное многообразие и процесс релаксации 99
2.3.6 Существование и единственность медленного многообразия 103
2.3.7 Нелинейные волны 106
2.3.8 Разрушение волн и ударные волны в лагранжевых переменных 109
2.3.9 Лагранжево описание для осесимметричпой мелкой воды 112
2.3.10 Обсуждение 113
4 Основные результаты по главе 114
3 Турбулентность коротких инерционно-гравитационных волн 116
1 Слабая волновая турбулентность 116
2 Инерционно-гравитационные волны в средних широтах 119
3.2.1 Гамильтоново описание 119
3.2.2 Колмогоровские спектры 123
3 Слабая турбулентность коротких экваториальных волн 129
3.3.1 Уравнения мелкой воды на экваториальной бета-плоскости 129
3.3.2 Трех-волновые взаимодействия 131
3.3.3 Четырех-волновое кинетическое уравнение 134
3.3.4 Обсуждение 135
4 Основные результаты по главе 136
4 Нелинейное уравнение Шредингера с периодическими коэффициентами 137
1 Гамильтоново усреднение и интегрируемость 138
4.1.1 Гамильтоново описание 140
4.1.2 Квази-тождественное преобразование 143
2 Усредненная динамика оптических импульсов 145
4.2.1 Преобразование Боголюбова 147
4.2.2 Разложение для малых R 150
4.2.3 Солитонные решения 153
4.2.4 Сравнение с другими методами 159
4.2.5 Обсуждение 165
3 Численное моделирование солитонных импульсов в усредненной модели . 167
4.3.1 Усредненная модель в спектральной области 167
4.3.2 Усредненная модель во временной области 171
4.3.3 Примеры вычислений 173
4 Квазилинейная теория распространения гауссовых импульсов 179
4.4.1 Квазилинейное решение 180
4.4.2 Аналитическое решение для гауссовых импульсов 182
4.4.3 Результаты численного интегрирования 185
5 Основные результаты по главе 188
5 Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов 189
1 Пробные функции для одиночного импульса 190
2 Импульсы с переменными энергией и фазой 192
5.2.1 Преобразование скобки Пуассона 194
5.2.2 Вычисление гамильтониана 195
5.2.3 Физическая модель 197
5.2.4 Точное решение 198
5.2.5 Численное решение 199
5.2.6 Приближенные решения 202
3 Импульсы с переменными положением и скоростью 205
5.3.1 Выбор параметров для пробной функции 206
5.3.2 Преобразование скобки Пуассона 208
5.3.3 Вычисление гамильтониана 208
5.3.4 Сравнение решений 213
4 Основные результаты по главе 217
Заключение 218
Список литературы
