Введение
1. Введение 7
1.1. Предмет исследования 7
1.2. Актуальность темы 8
1.3. Степень разработанности темы и обзор литературы 10
1.4. Цель и задачи работы 24
1.5. Научная новизна 25
1.6. Теоретическая и практическая значимость 27
1.7. Общая характеристика работы и методы исследования 28
1.8. Основные положения, выносимые на защиту 34
1.9. Степень достоверности и апробация результатов 36
2. Модифицированный метод прямого разделения движений: исследование динамики систем общего вида, допускающих разделение движений по времени
2.1.0 предлагаемой модификации МЛРД 3 8
2.2. Уравнение Матье без явного малого параметра 41
2.2.1. Постановка задачи 41
2.2.2. Решение с помощью модифицированного МЛРД 42
2.2.3. Оценка справедливости полученных результатов 46
2.2.4. Сравнение с результатами численных экспериментов 48
2.2.5. Обсуждение полученных результатов 50
2.3. Исследование отклика нелинейного параметрического усилителя при соотношении
2:1 между частотами параметрического и 52
внешнего воздействий
2.3.1. Постановка задачи 52
2.3.2. Решение с помощью модифицированного МЛРД 54
2.3.3. Случай малой амплитуды внешнего воздействия 56
2.3.4. Отклик усилителя в общем случае 59
2.3.5. Коэффициент усиления 61
2.3.6. Обсуждение полученных результатов 63
2.4. Уравнение Ван дер Поля без явного малого параметра 64
2.4.1. Постановка задачи 64
2.4.2. Решение с помощью модифицированного МЛРД 65
2.4.3. Определение параметров установившихся режимов колебаний в системе
2.4.4. Нестационарные режимы колебаний 68
2.5. Обсуждение результатов, полученных с помощью модифицированного МЛРД
3. Метод изменяющихся амплитуд: исследование параметрически возбуждаемых и нелинейных систем, движения которых не разделяются по времени
3.1. О методе изменяющихся амплитуд 73
3.2. Уравнение Матье в более широкой области изменения параметров
3.2.1. Постановка задачи и решение с помощью метода изменяющихся амплитуд
3.2.2. Определение границ устойчивости для третьего параметрического резонанса и обсуждение полученных результатов
3.3. Исследование отклика нелинейного параметрического усилителя при наличии расстройки между частотами внешнего и параметрического воздействий
3.3.1. Постановка задачи 82
3.3.2. Линейный случай 83
3.3.3. Нелинейный случай. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд
3.3.4. Обсуждение полученных результатов и проверка с помощью численных экспериментов
3.3.5. Сравнение с результатами натурных экспериментов 98
3.4. Исследование влияния характера нелинейности на отклик
102 параметрического усилителя
3.4.1. Постановка задачи 102
3.4.2. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд
3.4.3. Обсуждение полученных результатов и проверка с помощью численных экспериментов
3.5. Обсуждение результатов, полученных с помощью метода изменяющихся амплитуд
4. Исследование динамики структур, движения которых допускают разделение по пространственной координате, а не по времени, с помощью модифицированного метода прямого разделения движений
4.1. О разделении движений не по времени, а по пространственной координате
4.2. Собственные частоты и формы струны с переменным поперечным сечением
4.2.1. Постановка задачи 116
4.2.2. Решение с помощью модифицированного МЛРД 117
4.2.3. Определение собственных частот и форм колебаний струны 121
4.2.4. Сравнение с результатами численных экспериментов 125
4.2.5. Обсуждение полученных результатов 128
5. Исследование динамики пространственно периодических структур, движения которых не допускают разделения по координате, с помощью метода изменяющихся амплитуд
5.1. Об использовании метода изменяющихся амплитуд 130
5.2. Собственные частоты и формы балки с переменным поперечным сечением. Теория Бернулли-Эйлера
5.2.1. Постановка задачи 131
5.2.2. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд 134
5.2.3. Дисперсионные соотношения балки 138
5.2.4. О влиянии модуляций на собственные частоты и формы балки
5.2.5. Сравнение с результатами численных экспериментов 150
5.2.6. Обсуждение полученных результатов 152
5.3. Дисперсионные соотношения и полосы частот запирания балки с
153 переменным поперечным сечением. Теория Тимошенко
5.3.1. Постановка задачи 153
5.3.2. Дисперсионные соотношения однородной балки Тимошенко 156
5.3.3. Безразмерные уравнения колебаний балки Тимошенко с
157 переменным поперечным сечением
5.3.4. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд 159
5.3.5. Анализ полученных дисперсионных соотношений балки 163
5.3.6. Проверка с помощью серии численных экспериментов 168
5.3.7. Обсуждение полученных результатов 180
5.4. Подавление вибрации струны, находящейся под действием
распределенной внешней нагрузки, с помощью пространственных 181
модуляций ее параметров
5.4.1. Постановка задачи 181
5.4.2. Пространственно гармоническая внешняя нагрузка 183
5.4.3. Постоянная по координате внешняя нагрузка 193
5.4.4. Произвольно распределенная внешняя нагрузка 197
5.4.5. Обсуждение полученных результатов 201
5.5. Влияние нелинейных факторов на дисперсионные соотношения и
202 полосы запирания периодической балки Бернулли-Эйлера
5.5.1. Постановка задачи 202
5.5.2. Уравнения движения 204
5.5.3. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд 212
5.5.4. Дисперсионные соотношения и полосы частот запирания 218
5.5.5. Проверка полученных результатов 229
5.5.6. Обсуждение полученных результатов 236
5.6. Распространение продольных упругих волн в периодическом стержне в случае произвольной модуляции его поперечного сечения
5.6.1. Постановка задачи 238
5.6.2. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд 242
5.6.3. Ширина и положение нечетных полос запирания 245
5.6.4. Ширина и положение четных полос частот запирания 250
5.6.5. Общая несимметричная форма корригации 257
5.6.6. Обсуждение полученных результатов 260
5.7. Распространение поперечных волн в продольно движущейся периодической струне
5.7.1. Постановка задачи 261
5.7.2. Уравнения движения 262
5.7.3. Области параметрической неустойчивости для однородной струны
5.7.4. Полосы частот запирания для неоднородной не движущейся струны
5.7.5. Подавление параметрической неустойчивости колебаний струны путем пространственных модуляций ее параметров
5.7.6. Обсуждение полученных результатов 279
5.8. Обсуждение результатов, полученных с помощью Метода Изменяющихся Амплитуд при исследовании динамики пространственно периодических структур
6. Заключение 282
6.1. Итоги и основные результаты исследования 282
6.2. Рекомендации и перспективы дальнейшей разработки темы 288
6.3. Список публикаций автора по теме диссертации 290 Список литературы
