Введение
Глава 1 15
1. Постановка задачи. 15
1.1.1. Математическая формулировка задачи дифракции скалярной волны. Условия излучения Зоммерфельда . 16
1.1.2. Ограничение области. Постановка граничных условий на фиктивной границе. 16
1.1.3. Использование на фиктивной границе условий излучения Зоммерфельда. 17
1.1.4. Использование на фиктивной границе радиационных граничных условий первого порядка. 18
1.1.5. Использование на фиктивной границе парциальных условий излучения. 18
1.1.6. Достоинства и недостатки описанных способов постановки граничных условий на фиктивной границе 22
2. Метод конечных элементов. 23
1.2.1. Общая схема использования метода конечных элементов в случае задачи дифракции. 26
1.2.2. Этапы построения численного решения задачи дифракции при помощи метода конечных элементов 28
Глава 2. 30
1. Построение треугольных и тетраэдрических сеток 30
2.1.1. Методы построения треугольных и тетраэдрических сеток . з
2.1.2. Основные способы оптимизации треугольных и тетраэдрических сеток. 33
2.1.3. Реализация используемого метода граничной коррекции. 35
2.1.4. Процедура оптимизации сетки в трёхмерном случае. 43
2.1.5. Процедура определения границ элементов принадлежащих границам областей задачи 44
2. Сборка матриц. 45
2.2.1. Выбор порядка конечных элементов. 47
2.2.2. Выбор способа хранения матриц. Разреженный строчный формат. 48
3. Сборка матриц в двумерном случае. 50
2.3.1. Сборка матрицы жёсткости (K). 51
2.3.2. Сборка матрицы массы. 52
2.3.3. Сборка матрицы соответствующей коэффициенту уравнения Гельмгольца 53
2.3.4. Сборка матрицы граничных условий соответствующей коэффициенту при неизвестной функции 54
2.3.5. Сборка матрицы граничных условий соответствующей правой части граничных условий. 55
2.3.6. Сборка матриц соответствующих парциальным условиям излучения. 56
4. Сборка матриц в трёхмерном случае. 59
2.4.1. Сборка матрицы жёсткости. 60
2.4.2. Сборка матрицы массы. 61
2.4.3. Сборка матрицы соответствующей коэффициенту уравнения Гельмгольца 63
2.4.4. Сборка матрицы граничных условий соответствующей коэффициенту при неизвестной функции 65
2.4.5. Сборка матрицы граничных условий соответствующей правой части граничных условий . 67
2.4.6. Сборка матриц соответствующих парциальным условиям излучения. 68
5. Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ). 71
2.5.1. Прямые методы. Метод Гаусса. 72
2.5.2. Итерационные методы. 73
2.5.3. Проекционные методы. Подпространства Крылова. Обобщённый метод минимальных невязок (GMRES). 74
2.5.4. Предобусловливание СЛАУ. Неполное LU разложение. 79
2.5.5. Алгоритм построения неполного LU разложения для матрицы СЛАУ, хранимой в разреженном строчном формате без необходимости поиска, используемый в программе. 82
2.5.6. Описание реализации метода минимальных невязок (GMRES), используемого в программе. 85
6. Представление результатов. 87
2.6.1. Диаграмма рассеяния. 89
2.6.2. Структура данных, используемая для хранения решения. 91
Глава 3. Тестирование программы. 94
1. Двумерный случай. 94
3.1.1. Радиационные граничные условия первого порядка . 96
3.1.2. Парциальные условия излучения. 98
2. Трёхмерный случай. Парциальные условия излучения. 104
Глава 4. Результаты работы программы. 112
1. Двумерный случай. 112
2. Трёхмерный случай. 122
Заключение. 134
