Введение
Глава.1 Исторический обзор 26
1.1 Постановки задач 26
1.2 Проблема Борсука 28
1.2.1 Проблема Борсука в "малых" размерностях 28
1.2.2 Проблема Борсука для некоторых специальных классов множеств 32
1.2.3 Верхние оценки на минимальное число частей меньшего диаметра 34
1.2.4 Контрпримеры к гипотезе Борсука и нижние оценки на минимальное число частей меньшего диаметра 37
1.3 Хроматические числа некоторых метрических пространств 39
1.3.1 Общая постановка задачи 39
1.3.2 Некоторые предварительные замечания 40
1.3.3 Оценки хроматических чисел в "малых" размерностях 42
1.3.4 Оценки хроматических чисел с ростом размерности и реализация всех расстояний при разбиении пространства Rrf на некоторое число частей 44
1.4 Проблема Грюнбаума 47
Глава.2 Линейно-алгебраический метод. Нижние оценки в задачах Борсука и Нелсона - Эрдеша - Хадвигера 50
2.1 Несколько общих замечаний 50
2.2 Формулировки результатов 51
2.2.1 Проблема Борсука и хроматические числа некоторых метрических пространств 51
2.2.2 Одно обобщение задачи Нелсона - Эрдеша - Хадвигера 58
2.3 Доказательства результатов 61
2.3.1 Общее описание подхода 61
2.3.2 Доказательство теоремы 2.2.1.1 64
2.3.3 Доказательство теоремы 2.2.1.2 68
2.3.4 Доказательства теорем 2.2.1.3 и 2.2.1.4 . 71
2.3.5 Доказательство теоремы 2.2.1.5 74
2.3.6 Доказательство теоремы 2.2.1.6 76
2.3.7 Доказательство теорем 2.2.2.1 и 2.2.2.2 . 78
2.3.8 Несколько дополнительных наблюдений 85
2.4 Еще несколько результатов 88
2.4.1 Системы векторов с запретами на скалярные произведения 88
2.4.2 О связи между задачами Борсука и Нелсона - Эрдеша - Хадвигера 89
2.4.3 Доказательство теоремы 2.4.1.1 92
2.4.4 Доказательство теоремы 2.4.2.1 93
2.5 Краткое резюме метода 97
Глава.3 Метод альтернирования.Хроматические числа конечных геометрических графов 99
3.1 Несколько общих замечаний 99
3.2 Постановки задач 100
3.3 Формулировки результатов 105
3.3.1 (-1,0,1) - задача 105
3.3.2 (-2,-1,0,1,2) - задача 110
3.3.3 Общий случай в задаче 115
3.4 Доказательства результатов 119
3.4.1 Небольшое напоминание (общие предпосылки) 119
3.4.2 Доказательство теоремы 3.3.1.2 119
3.4.3 Доказательство теоремы 3.3.1.3 124
3.4.4 Доказательство теоремы 3.3.1.4 125
3.4.5 Доказательства теорем 3.3.2.1 - 3.3.2.4 и 3.3.3.1, 3.3.3.2 130
3.5 Соотношения между полученными результатами 137
3.6 Еще несколько результатов 143
3.6.1 Приложение разработанного метода к задаче параграфа 2.2.2 143
3.6.2 О числах Борсука и Нелсона - Эрдеша - Хадвигера 146
3.6.3 Доказательство теоремы 3.6.2.1 150
3.6.4 Доказательство следствия 3.6.2.1 156
3.6.5 Дополнение 156
3.7 Краткое резюме метода 158
Глава.4 Метод покрытия с зацеплением. Верхние оценки в задачах Борсука, Грюнбаума и Нелсона - Эрдеша - Хадвигера для многогранников и конечных геометрических графов 171
4.1 Несколько общих замечаний 171
4.2 Постановки задач 172
4.3 Формулировки результатов 174
4.3.1 Предварительные замечания 174
4.3.2 Случай (0,1) - многогранников 175
4.3.3 Случай (—1,0,1) - многогранников (кросс - политопов) 180
4.3.4 Общий случай 186
4.4 Вспомогательные определения: задача о покрытии 192
4.5 Доказательства результатов 194
4.5.1 Общие предпосылки 194
4.5.2 Доказательство теоремы 4.3.4.1 195
4.5.3 Комментарии к доказательству теоремы 4.3.4.2 205
4.5.4 Несколько иллюстраций к параграфу 4.5.2 209
4.5.5 Несколько слов о теореме 4.3.2.3 210
4.6 Соотношения между полученными результатами 211
4.7 Приложение 1: покрытие множеств шарами в произвольной норме 215
4.8 Приложение 2: хроматические числа конечных геометрических графов 218
4.9 Краткое резюме метода 219
Глава.5 Хроматические числа в малых размер ностях 225
5.1 Несколько общих замечаний 225
5.2 Формулировки результатов 225
5.3 Доказательства результатов 226
5.3.1 Доказательство теоремы 5.2.4 226
5.3.2 Доказательство теорем 5-2.1 и 5.2.2 229
5.3.3 Доказательство теоремы 5.2.3 235
5.4 Краткое резюме метода 242
Глава.6 Проблема Борсука в малых размерностях 243
6.1 Несколько общих замечаний 243
6.2 Об одной модификации трехмерного подхода Грюнбаума 243
6.3 Универсальные покрывающие системы и специальные разбиения 251
6.4 Целочисленные многогранники в малых размерностях 255
Глава.7 Вероятностный метод.Вложение случайного графа в геометрический 259
7.1 Несколько общих замечаний 259
7.2 "Двумерный случай" 260
7.2.1 Постановка задачи 260
7.2.2 Формулировки некоторых результатов 261
7.2.3 Доказательства теорем 262
7.2.4 Обсуждение нижних оценок 264
7.3 Случай произвольной размерности 266
7.3.1 Постановка задачи 266
7.3.2 Верхние оценки 266
7.3.3 Обсуждение нижних оценок 267
7.3.4 Обсуждение вопроса существования 268
Список использованных источников 271
