Введение
1 Рандомизированные алгоритмы для решения больших систем линейных алгебраических уравнений . 9
1.1 Рандомизация с помощью случайных разреженных матриц. 10
1.2 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений 15
1.2.1 Метод, основанный на преобразовании спектра
1.2.2 Нестационарный итерационный процесс со случайными параметрами 17
1.2.3 Рандомизация метода Гаусса-Зейделя 20
1.3 Дискретные варианты алгоритма блуждания по границе. 21
1.3.1 Алгоритм изотропного случайного блуждания по границе 22
1.3.2 Дискретная версия метода случайного блуждания по границе 22
1.4 Численные результаты 24
2 Рандомизированный алгоритм для сингулярного разложения матриц и его применения к моделированию случайных полей и реше нию систем линейных алгебраических уравнений . 32
2.1 Сингулярное разложение матриц 33
2.2 Варианты рандомизации сингулярного разложения матриц 34
2.2.1 Метод разреженного сингулярного разложения матриц . 34
2.2.2 Рандомизированный метод главных компонент 36
2.3 Моделирование случайных полей 38
2.3.1 Разложение Кархунена-Лоева 38
2.3.2 Дискретизация разложения Кархунена-Лоева 39
2.3.3 Численные эксперименты по моделированию неоднородных случайных полей 41
2.3.4 Численные результаты сравнения методов рандомизированного сингулярного разложения. 48
2.4 Алгоритмы блуждания по границе 50
3 Стохастические граничные методы фундаментальных решений и их приложения . 57
3.1 Формулировка метода фундаментальных решений 58
3.2 Уравнение Лапласа 60
3.3 Уравнения Ламе 61
3.4 Аппроксимация функции Грина 62
3.5 Дискретизация интеграла Пуассона 64
3.6 Метод, основанный на обращении интегральной формулы Пуассона 65
3.6.1 Система уравнений Ламе. 68
3.7 Сравнительные эксперименты 71
3.8 Задача о нахождении электроемкости для цепочки сфер. 81
Заключение 91
Список литературы
