Введение
1 Уравнения и системы уравнений в частных производных 33
1.1 Уравнения реакции-диффузии 34
1.1.1 Априорные оценки 34
1.2 Уравнения конвекции-диффузии 35
1.2.1 Априорные оценки и зависимости вдоль линий тока. 36
Случай условий Неймана на Г^ 37
Случай условий Дирихле на Гд 39
Оценка на близость решений задач Дирихле и Неймана 42
Зависимость против потока и оценки вдали от ТЕ 42
1.3 Система уравнений с кососимметричной реакцией 44
1.3.1 Априорные оценки 46
1.4 Обобщённая система Стокса 49
1.4.1 Априорные оценки 51
1.4.2 Краевые условия на вихрь и задача для давления 53
Определения и вспомогательные утверждения 53
Задача с граничными условиями на вихрь 55
1.4.3 Обобщенное неравенство Нечаса 59
1.4.4 Теорема о перемежаемости опрераторов Шура . 64
1.4.5 Оценки для стабилизированной задачи Стокса 65
Вспомогательные результаты из линейной алгебры. 65
Вспомогательные результаты для абстрактной вариационной задачи 68
Оценки для непрерывного оператора 70
1.5 Задача Стокса с интерфейсом 73
1.5.1 Infsup-условие устойчивости 75
1.5.2 Априорные оценки 77
1.6 Система Навье-Стокса 78
1.6.1 Различные формы системы 79
1.6.2 Неявные схемы 80
Схема для нестационарной задачи 80
Схема для стационарной задачи 81
1.6.3 Некоторые вспомогательные неравенства 82
1.7 Системы типа Осеена 83
1.7.1 Априорные оценки 84
1.7.2 Оценки для оператора давления 85
1.8 Выводы 90
Устойчивые методы конечных элементов 91
2.1 Уравнения реакции-диффузии 91
2.1.1 Сходимость 92
2.2 Уравнения конвекции-диффузии 93
2.2.1 Метод диффузии вдоль потока - конечных элементов . 93
2.2.2 Матрица жесткости 99
2.2.3 Априорные оценки для дискретной задачи 101
Зависимость против потока и оценки вдали от ТЕ- 107
2.2.4 Сходимость 110
2.3 Система уравнений с кососимметричной реакцией 113
2.3.1 Устойчивость дискретной задачи 114
2.3.2 Сходимость 117
2.3.3 Численная иллюстрация 120
2.4 Обобщённая система Стокса 126
2.4.1 Устойчивые дискретизации 126
2.4.2 Сходимость 129
2.4.3 Эффект Vdiv стабилизации 131
2.4.4 Численная иллюстрация 134
2.5 Задача Стокса с интерфейсом 135
2.5.1 Infsup-условие устойчивости 138
2.5.2 Оценки для решения 141
2.5.3 Сходимость 142
2.6 Система Осеена 143
2.6.1 SUPG метод конечных элементов 145
2.6.2 Метод без стабилизации давления 146
Оценка устойчивости схемы 147
Сходимость и выбор параметров 150
Анализ с модифицированным LBB условием 154
2.6.3 Метод со стабилизацией давления 161
Оценка устойчивости схемы 162
Сходимость и выбор параметров 165
Анализ для случая LBB устойчивых аппроксимаций 167
2.6.4 Численная иллюстрация 171
2.7 Система Навье-Стокса 176
2.7.1 Пример дискретизации 176
2.7.2 Примеры расчетов 177
Задача о движущейся каверне 177
Задача о течении за ступенькой 178
2.8 Выводы 183
3 Анализ итерационных методов 185
3.1 Многосеточные методы 185
3.1.1 Вспомогательные леммы для свойства сглаживания 187
3.2 Уравнения реакции-диффузии 190
3.2.1 Свойство аппроксимации 190
3.2.2 Свойство сглаживания для базовых итераций 192
3.2.3 Универсальная сходимость V- и W-циклов 193
3.3 Уравнения конвекции-диффузии 194
3.3.1 Свойство аппроксимации 199
3.3.2 Свойство сглаживания 202
3.3.3 Поведение сглаживающих итераций около границ втекания и вытекания 204
3.3.4 Универсальная сходимость W-цикла 208
3.3.5 Численные примеры 212
3.4 Система уравнений с кососимметричной реакцией 218
3.4.1 Свойство аппроксимации 219
3.4.2 Свойство сглаживания для блочного метода Якоби 220
3.4.3 Универсальная сходимость W-цикла 223
3.4.4 Численные примеры 224
3.5 Обобщённая система Стокса 226
3.5.1 Несколько итерационных методов 228
Метод Узавы 228
Неточный метод Узавы 229
Метод MINRES 230
3.5.2 Переобуславливатели для дополнения Шура 231
3.5.3 Численные примеры 234
3.6 Задача Стокса с интерфейсом 237
3.6.1 Переобуславливатель для дополнения Шура 239
3.6.2 Численные примеры 241
3.6.3 Задача с полным тензором деформаций 243
3.7 Система Осеена 245
3.7.1 Переобусловленные методы 246
Переобуславливатель дополнения Шура для вихре вой формы 247
Анализ Фурье 251
Переобуславливатель дополнения Шура конвектив ной формы 255
3.7.2 Численные примеры 256
3.8 Система Навье-Стокса 260
3.8.1 Нелинейные итерации 260
3.8.2 Численные примеры 262
3.9 Выводы 264
Заключение 265
Список литературы
