Введение
Глава 1. Обзор методов анализа устойчивости жестких ЛСАУ 10
1.1 Некоторые аспекты анализа ЛСАУ 10
1.1.1 Необходимые и достаточные условия устойчивости ЛСАУ. Характеристическое уравнение ЛСАУ 10
1.1.2 Коррекция ЛСАУ 12
1.1.3 Жесткие дифференциальные уравнения. Понятие жесткости ЛСАУ 12
1.2 Решение характеристического уравнения системы 13
1.2.1 Общие обозначения 13
1.2.2 Методы нахождения корней нелинейных уравнений 14
1.2.3 Метод Лагерра 17
1.2.4 Метод собственных значений 19
1.2.5 Метод Дженкинса-Трауба 20
1.2.6 Краткий обзор остальных методов 21
Выводы 23
Глава 2. Основная идея метода 24
Введение 24
2.1 Использование формул Виета для оценки коэффициентов полинома через корни .24
2.1.1 Традиционная форма записи формул Виета 24
2.1.2 Модификация формул Виета в виде компактной итерационной формулы. Понятие таблиц индексов 25
2.1.3 Численный пример. Запись формул Виета и таблицы индексов 26
2.2 Случай комплексных корней и коэффициентов 28
2.2.1 Рассмотрение составляющих комплексных корней и коэффициентов. Понятие матриц комплексных произведений 28
2.2.2 Численный пример. Запись формул Виета с учетом комплексной природы коэффициентов и корней 30
2.3 Формулировка задачи оптимизации для нахождения корней полиномиальных уравнений 32
2.3.1 Требования, предъявляемые к критерию оптимизации 32
2.3.2 Формирование критерия оптимизации. Окончательная запись задачи оптимизации 32
2.3.3 Овражный характер критерия оптимизации 35
2.3.4 Численный пример. Формирование критерия. Исследование области экстремума 37
Выводы 40
Глава 3. Использование методов поиска для решения поставленной задачи оптимизации 43
Введение 43
3.1 Метод подвода рабочей точки в область экстремума 43
3.1.1 Трудности применения методов спуска для оптимизации сформулированного критерия 43
3.1.2 Модификация градиентного метода для случая овражных функций. Сходимость метода. Задание начальных условий 44
3.1.3 Вычисление градиента по аналитическим формулам. Введение дополнительных таблиц индексов 47
3.1.4 Использование дробления шага 52
3.1.5 Численный пример. Подвод рабочей точки в область экстремума 53
3.2 Дальнейшая оптимизация критерия. Нахождение значений корней полинома 56
3.2.1 Различные способы оптимизации в области экстремума 56
3.2.2 Метод Левенберга-Марквардта и его применение для рассматриваемой задачи. 58
3.2.3 Численный пример. Результат работы метода Левенберга-Марквардта 59
Выводы 60
Глава 4. Некоторые аспекты реализации предлагаемой методики 61
Введение 61
4.1 Алгоритмы генерации статической информации 61
4.1.1 Генерация таблиц индексов для коэффициентов полинома 61
4.1.2 Генерация матриц комплексных произведений 65
4.1.3 Генерация таблиц индексов для производных 68
4.1.4 Численный пример. Генерация статической информации 72
4.2 Расчет корней полинома 79
4.2.1 Расчет значения критерия 79
4.2.2 Расчет градиента в заданной точке 82
4.2.3 Генерация релаксационной последовательности 84
4.2.4 Применение метода Левенберга-Марквардта 88
4.2.5 Расчет сочетаний 90
4.2.6 Численный пример. Первый такт генерации релаксационной последовательности 91
Выводы 95
Глава 5. Использование предложенного метода и результатов его работы 97
Введение 97
5.1 Разделение свободного движения ЛСАУ 97
5.1.1 Способы разделения свободного движения ЛСАУ 97
5.1.2 Алгоритм разделения свободного движения ЛСАУ по декременту затухания. Реализация алгоритма 100
5.1.3 Численный пример. Разделение свободного движения ЛСАУ с постоянными коэффициентами 102
5.2 Выработка начальных условий для метода и его модификации 106
5.2.1 Проблемы сходимости метода 106
5.2.2 Начальные условия для метода подвода рабочей точки в область экстремума. 107
5.2.3 Модификация предложенной методики. Улучшение сходимости 108
5.2.4 Применение метода для целей адаптивного регулирования 111
5.2.5 Численный пример 1. Поиск корней полинома шестого порядка 113
5.2.6 Численный пример 2. Система управления лентопротяжным механизмом в устройстве памяти последовательного доступа 116
5.3 Применение методики для решения задачи собственных значений 117
5.3.1 Получение характеристического полинома матрицы 118
5.3.2 Решение характеристического уравнения 119
5.3.3 Численный пример. Вычисление собственных значений матрицы с помощью предложенной методики 119
Выводы 120
