Введение 6
1 Перекладывания отрезков: определения и ключевые результаты 25
1.1 Перекладывания отрезков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2 Измеримые слоения на поверхностях и бильярды в рациональных
многоугольниках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3 Индукция Рози . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4 Пространства модулей абелевых дифференциалов и слоения абсо-
лютных периодов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5 Перекладывания отрезков с целочисленными соотношениями меж-
ду длинами отрезков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5.2 Богатые и бедные пространства ограничений . . . . . . . . . 39
1.5.3 Другие подходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.4 Эргодические свойства перекладываний отрезков с рацио-
нальными соотношениями между длинами отрезков . . . . . 43
2 Марковские многомерные цепные дроби 49
2.1 Многомерные цепные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Топологический марковский сдвиг и диаграмма Рози . . . . . . . . 52
2.3 Проективно-расширяющие и сильно расширяющие отображения . . 53
2.4 Критерий Фужерона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5 Показатели Ляпунова марковских многомерных цепных дробей . . 59
3 Перекладывания отрезков с флипами 62
3.1 Определения и результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2
3.2 Индукция Рози для перекладываний отрезков с флипами . . . . . . 66
3.3 Диаграмма Рози . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Ускорение индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 Марковский сдвиг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6 Свойство ограниченного искажения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6.1 Вспомогательные меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6.2 Лемма Керхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6.3 Дальнейшие оценки искажения . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.7 Функция крыши и ее экспоненциальный хвост . . . . . . . . . . . . 86
3.8 Доказательство теоремы 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4 Линейные инволюции и квадратичные дифференциалы 91
4.1 Определение линейных инволюций и их свойства . . . . . . . . . . 91
4.2 Когомологические уравнения и линейные инволюции . . . . . . . . 94
4.3 Индукция Рози для линейных инволюций . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4 Линейные инволюции типа Рота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.5 Доказательство теоремы 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.6 Доказательство Теоремы 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6.1 Условия (b) и (с) выполнены почти всегда . . . . . . . . . . 102
4.6.2 Условие (а) выполнено почти всегда . . . . . . . . . . . . . . 103
4.6.3 Доказательство леммы 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5 Отображения сдвигов отрезков 108
5.1 Определения и гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2 Отображения сдвигов отрезков типа Бруина - Трубецкого . . . . . 109
5.3 Двойные вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.3.1 Определения и результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4 Ренормализация для двойных вращений . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4.1 Отображения сдвигов 3 отрезков и двойные вращения . . . . 119
5.4.2 Ренормализация. Первый подход . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.4.3 Новое комбинаторное описание . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4.4 Индукция Артиджани-Фужерона-Юбера . . . . . . . . . . . 125
5.4.5 Эквивалентность двух алгоритмов ренормализации . . . . . 126
5.4.6 Применение критерия Фужерона . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3
5.5 Доказательство утвеждения о нулевой энтропии бильярдов со шпи-
онскими зеркалами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.5.1 Предварительные наблюдения . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.5.2 Энтропия эргодических мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.5.3 Доказательство основных утверждений . . . . . . . . . . . . 138
6 Системы изометрий 140
6.1 Определения и гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.2 Специальные системы изометрий порядка три . . . . . . . . . . . . 143
6.2.1 Определение специальных систем изометрий порядка 3 . . . 143
6.2.2 Ренормализация для систем изометрий . . . . . . . . . . . . 143
6.2.3 Ускорение индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2.4 Коцикл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.5 Салфетка Рози . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.2.6 Схема доказательства теоремы 83 . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3 Комбинаторика алгоритма ренормализации . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3.1 Марковское разбиение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3.2 Диаграмма Рози . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3.3 Комбинаторные свойства марковского сдвига . . . . . . . . . 154
6.4 Функция крыши и специальный поток . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.5 Инвариантная мера, носителем которой является Салфетка Рози . 155
6.5.1 Формулировка результатов и план доказательства . . . . . . 155
6.5.2 Свойства функции крыши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.5.3 Термодинамический формализм . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.5.4 Доказательство теоремы 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.6 Альтернативная ренормализация: машина Рипса . . . . . . . . . . . 162
6.7 Число топологических концов орбит систем изометрий тонкого типа 165
6.8 Доказательство теоремы 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.9 Доказательство теоремы 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7 Приложения к задаче С. П. Новикова о плоских сечениях 3-
периодических поверхностей 179
7.1 Формулировка задачи и известные результаты . . . . . . . . . . . . 179
7.2 От системы изометрий к 3-периодической поверхности . . . . . . . 181
4
7.3 Новые результаты в задаче С. П. Новикова . . . . . . . . . . . . . . 185
7.3.1 Показатели Ляпунова и диффузия . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.3.2 Число связных компонент хаотических режимов . . . . . . . 185
7.3.3 Перекладывания отрезков типа Арну -Рози . . . . . . . . . . 186
7.4 Показатели Ляпунова коцикла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.5 Скорость диффузии хаотических траекторий . . . . . . . . . . . . . 194
7.6 Эргодические свойства перекладываний отрезков типа Арну–Рози . 198
7.6.1 Cимволическое описание перекладываний отрезков типа
Арну–Рози . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.6.2 Минимальность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.6.3 Строгая эргодичность перекладываний отрезков типа Арну–
Рози . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.6.4 Оценка сверху на число инвариантных мер . . . . . . . . . . 206
7.6.5 Связь перекладываний отрезков типа Арну–Рози и хаотиче-
ских слоений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8 Слоение абсолютных периодов для вещественно-нормированных
дифференциалов с полюсом порядка 2 208
8.1 Вещественно-нормированные дифференциалы с полюсом порядка 2 208
8.2 Комбинаторная модель для пространства вещественно-
нормированных дифференциалов общего положения . . . . . . . . . 210
8.3 Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.4 Доказательство теоремы 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.5 Доказательство теоремы 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9 Заключение 220
9.1 Основные результаты диссертации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.2 Открытые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Литература 224
