Оглавление
1 Введение 5
2 Цветной полином ХОМФЛИ 27
2.1 Теория Черна–Саймонса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Интеграл Концевича . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Подход Решетихина-Тураева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 Квантовые коэффициенты Рака и 6j-символы . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 R-матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.3 R-матрицы через матрицы Рака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.4 Квантовые инварианты зацеплений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Построение весовой системы φslN 40
3.1 Аналитическое продолжение собственных значений
операторов Казимира slN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Собственные значения операторов Казимира slN
и трансляционная инвариантность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Симметрии цветного полинома ХОМФЛИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Описание вложения весовой системы φslN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Групповые факторы ассоциированные
с диаграммами Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Следствия для цветных полиномов ХОМФЛИ из явных формул для теоретикогрупповой структуры 58
4.1 Инварианты Васильева высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Различение инвариантов Васильева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Доказательство симметрии "тяни-крюк" для полиномов узлов ХОМФЛИ . . 65
4.4 q-голономность цветных полиномов Джонса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2
4.5 Следствия для цветных полиномов Александера . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5.1 Новая симметрия полинома Александера . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5.2 Деформация из полинома Александера в ХОМФЛИ . . . . . . . . . . . 71
4.5.3 Скейлинговое соотношение для полинома Александера . . . . . . . . . . 72
5 Свойства дефекта дифференциального разложения полинома ХОМФЛИ 75
5.1 Дифференциальное разложение
цветного полинома ХОМФЛИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2 Дефект дифференциального разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 Дефект определяет степень фундаментального
полинома Александера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.1 Примеры для небольших дефектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.2 Случай произвольного дефекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3.3 Промежуточный итог . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.4 Целочисленность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.4.1 Двухнитевые торические узлы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4.2 Антипараллельные потомки торических узлов . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4.3 Дефект δ = m − 1 = 0 – потомки узла 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.4.4 Дефект δ = m − 1 = 1 – потомки узла 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4.5 Дефект δ = m − 1 > 1 – потомки узла (2m + 1)1 . . . . . . . . . . . . . 94
5.4.6 Пример узла 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.5 Следствия для гипотезы о сохранении дефекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.5.1 Потомки узла 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.5.2 Потомки узла 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.6 Рекурсивные соотношения (C-полиномы)
для цветных полиномов Александера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.7 Другие однокрюковые представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.7.1 Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.7.2 Представление R = [2, 1] для дефекта δ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.7.3 Представление R = [2, 1] для дефекта δ ≥ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.7.4 Представления R = [r, 1] для дефекта δ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.7.5 Представления R = [r, 1
s−1
] для дефекта δ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 106
3
6 Симметрия "тяни-крюк" для квантовых 6j-символов 108
6.1 Гипотеза о собственных значениях [106] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2 Симметрия "тяни-крюк" для коэффициентов Рака . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3 Свидетельства в пользу симметрии "тяни-крюк" . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3.1 Доказательства гипотезы о собственных значениях . . . . . . . . . . . . 113
6.3.2 Симметрия "тяни-крюк" для цветных полиномов ХОМФЛИ . . . . . . 113
6.3.3 Примеры для Uq(slN ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7 Заключение 118
