Введение
Глава 1. Сингулярная задача Римана — Гильберта 14
1. Предварительные сведения 14
1.1. Задача Римана — Гильберта в односвязной области 14
1.2. Интегралы типа Коши и некоторые их свойства 16
1.3. О методах конформного отображения односвязных областей 17
2. Элементы теории гипергеометрической функции 21
2.1. Гипергеометрическое уравнение и интегральное представление Эйлера 21
2.2. Формулы аналитического продолжения 22
2.3. Формула Якоби и соотношения между ассоциированными функциями 22
3.4. Функция Аппеля , 24
3. Сингулярная задача Римана — Гильберта в верхней полуплоскости 25
3.1. Постановка задачи Римана — Гильберта и ее сведение к задаче сопряжения 25
3.2. Модифицированный интеграл типа Коши 30
3.3. Решение однородной задачи 35
3.4. Частное решение неоднородной задачи для случая I 40
3.5. Частное решение неоднородной задачи для случая II 54
3.6. Общее решение задачи Римана — Гильберта 55
4. Сингулярная Римана — Гильберта в И+ с кусочно-постоянными коэффициентами 57
4.1. Построение решения однородной задачи 57
4.2. Решение неоднородной задачи 60
4.3. Представление в виде интеграла Кристоффеля — Шварца для случая трех точек разрыва 64
162
Глава 2. Приложение к проблеме магнитного пересоединения 79
1. Вводные замечания 79
1.1. Рассматриваемая задача 79
1.2. Модель магнитного пересоединения 79
1.3. Основные результаты 80
2. Постановка задачи 81
2.1. Область д 81
2.2. Постановка краевой задачи Римана — Гильберта 82
2.3. Сведение к задаче в четверти области 83
2.4. Подход к решению задачи 85
3. Конформное отображение Ф-1 полуплоскости на область G 89
3.1. Замечания об обозначениях 89
3.2. Представление отображения Ф-1 в виде интеграла Кристоффеля — Шварца 89
3.3. Система уравнений для неизвестных параметров 89
3.4. Метод решения системы уравнений для прообразов Лиг 91
4. Вычисление интегралов гипергеометрического типа 93
4.1. Вводные замечания 93
4.2. Интегралh{\,r) 93
4.3. Интеграл 72(А, т) 95
АЛ. Интеграл 13(\, т) 97
5. Предельные случаи геометрии области G и соответствующие асимптотики для прообразов Лиг 99
5.1. Вводные замечания 99
5.2. Подход к получению асимптотик для прообразов 99
5.3. Элементы теории деформирования 101
5.4. Случай р -> 0 107
5.5. Случайр -* со 112
5.6. Случай а -> 119
5.7. Построение начальных приближений для прообразов Л и г 124
6. Отображение Ф области G на верхнюю полуплоскость 125
6.1. Предварительные замечания 125
6.2. Метод обращения интеграла Кристоффеля — Шварца 125
6.3. Пример разложения Ф вблизи вершин 128
7. Решение краевой задачи 129
7.1. Постановка задачи Римана — Гильберта в полуплоскости 129
7.2. Решение задачи Римана — Гильберта в полуплоскости 130
7.3. Приведение решения 0я" к виду интеграла Кристоффеля — Шварца. 130
7.4. Область годографа магнитного поля 133
7.5. Представление решения 7+ в виде рядов 135
7.6. Решение 3" исходной задачи Римана — Гильберта 136
7.7. Физически важные характеристики решения 137
8. Численная реализация решения 140
8.1. Эффективность метода при численной реализации 140
8.2. Численное исследование характеристик магнитного поля 142
Литература
