Введение
1 Смешанная задача для уравнения Лапласа вне системы разрезов, расположенных на окружности 20
1.1 Постановка задачи 20
1.2 Модификация задачи 22
1.3 Решение задачи 28
1.4 Явный вид решения в частных случаях 38
1.5 Модификация системы алгебраических уравнений 43
1.6 О вычислении некоторых интегралов 46
2 Смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы 49
2.1 Постановка задачи 49
2.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений 51
2.3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы 55
2.4 Существование решения 61
2.5 Случай одного разреза 63
2.6 Поведение градиента решения на концах разреза 65
2.7 Доказательство леммы 7 70
2.8 Исчезновение особенности Vu 71
3 Обобщённая задача о скачке для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости 75
3.1 Постановка задачи 75
3.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений 77
3.3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы 83
3.4 Существование решения 91
3.5 Решение сингулярных уравнений 93
3.6 Вычисление интегралов 96
3.7 Случай одного разреза 98
3.8 Поведение градиента решения на концах контура 100
3.9 Доказательство леммы 8 104
3.10 Исчезновение особенности Vw 106
4 Смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости с заданием условия Дирихле и условия с косой производной на разных сторонах разрезов 110
4.1 Постановка задачи 110
4.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений 112
4.3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы 117
4.4 Существование решения 125
4.5 Решение сингулярных уравнений 127
4.6 Вычисление интегралов 130
4.7 Случай одного разреза 132
4.8 Поведение градиента решения на концах контура 134
4.9 Доказательство леммы 8 140
4.10 Исчезновение особенности Vw 141
Заключение 145
