Введение
1 Модели дробной диффузии 13
1.1 Случайное время 13
1.2 Свойства функции Qp{r) 16
1.3 Аномальная диффузия 19
1.4 Дробный снос 22
1.5 Уравнение субдиффузии 23
1.6 Аномальное случайное блуждание 26
1.7 Законы диффузии 31
1.8 Дробное уравнение Колмогорова-Феллера 33
1.9 Уравнение Ланжевена 36
2 Аномальная субдиффузия 42
2.1 Одномерный случай 42
2.1.1 Статистика случайных блужданий 43
2.1.2 Обобщенное дробно-экспоненциальное распределение 44
2.1.3 Переходные диффузионные уравнения 46
2.1.4 Сравнение точного и асимптотического решений уравнения Монтролла-Вейсса 47
2.1.5 Обобщенный процесс Орнштейна-Уленбека 53
2.2 Многомерный случай 58
2.2.1 Многомерная субдиффузия 58
2.2.2 Случайные блуждания 60
2.2.3 Асимптотические уравнения для плотности вероятностей блужданий X(t) 61
2.2.4 Решение уравнения многомерной аномальной диффузии 63
2.2.5 Проверка асимптотических следствий уравнения Монтролла-Вейсса 64
2.2.6 Дисперсия скачкообразного процесса 69
3 Аномальная супердиффузия 72
3.1 Кинематика диффундирующей частицы 73
3.2 Статистика диффундирующей частицы 74
3.3 Независимые столкновения 75
3.4 Асимптотические законы супердиффузии 76
3.5 Дробное диффузионное уравнение 79
3.6 Решение уравнения супердиффузии 80
3.7 Ускоренные блуждания 80
3.8 Статистика диффундирующей частицы 82
3.9 Уравнения аномальной супердиффузии 84
3.10 Плотность вероятностей аномально-супердиффузионного процесса 86
Заключение 89
Литература
