Введение
1 Реализация гладких функций на поверхностях в виде функций высоты 28
1.1 Введение 28
1.2 Препятствия к реализации гладкой функции в виде функции высоты при вложении или погружении поверхности 33
1.3 Критерий реализуемости функции с конечным числом критических точек на поверхности в виде функции высоты (доказательство теоремы 1.1.2) 34
1.4 Критерий реализуемости функции в виде функции высоты для погружений ориентируемой поверхности (доказательство теоремы 1 .3.1)
1.4.1 Необходимость 37
1.4.2 Достаточность
1.5 Реализуемость функции в виде функции высоты для погружений поверхности в неориентируемом случае (доказательство теоремы 1.3.2) 42
1.6 Изотопность функций Морса на сфере и проективной плоскости. Приведение функций к каноническому виду 44
1.7 Топология пространства всех погружений с данной функцией высоты. Регулярная гомотопность гладких погружений сферы в трехмерном пространстве 53
1.7.1 Построение выворачивания сферы наизнанку 56 з
1.7.2 Связные компоненты пространства всех погружений с данной функцией
1.8 Некоторые обобщения 64
2 Топологическая классификация функций Морса и их возмущений на поверхностях. Инварианты изотопности функций Морса 66
2.2 Основные типы эквивалентности функций Морса 72
2.3 Топологическая классификация функций Морса 74
2.3.1 Топологическая послойная классификация и критерий топологической сопряженности функций Морса 78
2.4 Послойная классификация Фоменко функций Морса. Атомы и молекулы Фо
2.4.1 Критерии эквивалентности и сопряженности функций Морса 83
2.5 Топологическая послойная классификация возмущенных функций Морса 85
2.5.1 Топологическая классификация и критерий топологической сопряженности возмущенных функций Морса 92
2.5.2 Стратификации Максвелла в пространстве J функций Морса: разбиения на классы топологической (послойной) эквивалентности
2.6 Теорема Матвеева об изотопности функций Морса с закрепленными точками локальных экстремумов. Обобщение на случай нумерованных и оснащенных
2.7 Инварианты изотопности на пространстве Эгйх функций Морса с фиксированными критическими точками. Комплексы функций Морса 1 2.7.1 Введение 105
2.7.2 Изотопический инвариант на пространстве Э:йх и ї-инвариант на группе диффеоморфизмов S) 107
2.7.3 Допустимые диффеоморфизмы и с .аЬ8-инвариант на группе 3 107
2.7.4 Почти-эквивалентность функций Морса 111
2.7.5 Комплексы К, К функций Морса, связь с пермутоэдрами. Связь образующих ГруППЫ И\(К) И ГруПП Щ/J f и f /(f ) 112
3 Топология связных компонент F пространств функций Морса на поверхностях 117
3.1.1 Обобщенные пространства функций Морса 124
3.1.2 Схема доказательства основных результатов 126
3.2 Теорема Кудрявцевой-Пермякова о гомотопической эквивалентности JF F1 F1 пространств функций Морса и оснащенных функций Морса 128
3.2.1 Точная формулировка результата и мотивировка 129
3.2.2 Введение С-топологии на пространствах 5, J11"111, S , /і, F и Fnum 133
3.2.3 Гомотопическая эквивалентность JF F1 135
3.2.4 Равномерная і ±-зквивариантная лемма Морса 143
3.2.5 Равномерная лемма Морса для оснащенных функций Морса 147
3.3 Комплекс К оснащенных функций Морса при х(М) 0. Связь с пермутоэдрами 148
3.3.1 Точные формулировки основных результатов 149
3.3.2 Построение стандартных косых цилиндрических ручек D?l и отображений инцидентности X[/]top,b]top 154
3.3.3 Построение комплекса К оснащенных функций Морса 170
3.3.4 Построение гладкого стратифицированного многообразия М. 174
3.3.5 Топология косых цилиндрических ручек комплекса К, существование комплекса К и проекции К — К 175
3.3.6 Гомологии комплекса К оснащенных функций Морса 180
3.4 Пространство модулей АЛ та F1/ 0 оснащенных функций Морса, гомотопическая эквивалентность F1 ffl х АЛ при х(М) 0 183
3.4.1 Формулировка основных результатов 184
3.4.2 Комбинаторное построение многообразия АЛ согласно 3.3.2—3.3.4 187
3.4.3 Гомеоморфизм между универсальным пространством модулей F1/ 0 оснащенных функций Морса и многообразием АЛ 189
3.4.4 -эквивариантный гомеоморфизм р% :Wl ffl х АЛ 199
3.5 Специальные оснащенные функции Морса. Гомотопические эквивалентности F1 F0, АЛ К при х(М) 0 202
3.5.1 Ключевые понятия и формулировка основного результата 203
3.5.2 Гомотопическая эквивалентность І4 : F - F1 204
3.5.3 -эквивариантный гомеоморфизм F « 1 х К и деформационные ретракции К С К С АЛ 208
3.6 Примеры комплексов К оснащенных функций Морса, исследование гомотопи ческой эквивалентности К К при х(М) 0 210
3.6.1 Примеры: топология и стратификация Максвелла пространств функций Морса 9ri;2,i(T2), Эг"2(5 2) и Э 2) на торе и сфере 210
3.6.2 Несжимаемость ручек комплекса К. Исследование гомотопической эквивалентности К К комплексов функций Морса 214
3.7 Топология пространств J гладких функций с заданными типами локальных особенностей на поверхностях 218
3.7.1 Основной результат в случае замкнутой поверхности М 218
3.7.2 Построение классифицирующих многообразий и отображений 219
3.7.3 Сведение к случаю функций Морса 220
3.7.4 Связь с мероморфными функциями и конфигурационными пространствами221
3.7.5 Случай поверхности М с краем 222
3.7.6 Примеры: топология и стратификация Максвелла пространств З +і д функций Морса на сфере при q = 0,1, 2 223
3.7.7 Выводы: топология и стратификация Максвелла пространств функций Морса на поверхностях 225
4 Продолжимые частичные инварианты С0—сопряженности гамильтоновых систем на поверхностях 228
4.1.1 Мотивировка: непрерывные траекторные инварианты интегрируемых 3 мерных несжимаемых течений и интегрируемых гамильтоновых систем
на 3-мерных изоэнергетических многообразиях 231
4.1.2 Основные типы эквивалентности гамильтоновых систем 241
4.1.3 Сг-топологии в пространстве гамильтоновых систем, г 5. Возмущенные системы 243
4.1.4 Инварианты гамильтоновых систем. Гладкие функционалы на простран
4.1.5 Постановка вопросов об устойчиво несопряженных системах на атоме,
о продолжимости инвариантов на множество возмущенных систем 246
4.2 Открытость пространства невырожденных гамильтоновых систем в пространстве всех гамильтоновых систем на поверхности 251
4.2.1 Метки Болсинова-Фоменко (П-инвариант) на ребрах молекулы Фоменко. Полнота П-инварианта для простого морсовского гамильтониана 252
4.2.2 Асимптотическое поведение функции периода вблизи морсовских критических точек гамильтониана 254
4.2.3 Грубые метки Болсинова-Фоменко (грубые Л- и m-инварианты) систем на седловом атоме. Кресты и ленточки 259
4.2.4 (Л, те, с)-аппроксимация функции периода возмущенной системы. Доказательство теоремы 4.2.2 264
4.2.5 Поведение П-меток на “старых” и “новых” ребрах молекулы Фоменко при малом возмущении невырожденной системы 271
4.3 Инварианты Болсинова-Фоменко С-сопряженности невырожденных гамиль тоновых систем на поверхностях 272
4.3.1 Метки Болсинова-Фоменко (Л- и гад -инварианты С-сопряженности) систем на седловом атоме 273
4.3.2 Полный инвариант Болсинова-Фоменко С-сопряженности невырожденных систем на поверхности 280
4.3.3 Критерий того, что функция от m-инварианта является инвариантом С-сопряженности, для некоторых атомов малой валентности 282
4.4 Полный относительно-продолжимый инвариант для тривиальных или про стых возмущений систем с плоскими атомами 290
4.4.1 Тривиальные возмущения (непрерывные инварианты сопряженности на страте Максвелла) 291
4.4.2 Простые возмущения гамильтоновой системы на плоском седловом атоме 292
4.4.3 Выводы о продолжимых инвариантах и устойчивой С-несопряжен-ности систем на атоме 297
4.5 Два типа относительно-продолжимых инвариантов С0- и С -сопряженности систем на седловом атоме 297
4.5.1 Относительно-продолжимый Л-инвариант С-сопряженности систем на сложном атоме для сложных возмущений 298
4.5.2 Относительно-продолжимый m-инвариант С -сопряженности систем на бициклическом атоме для бициклических возмущений 299
5 Дифференцируемые инварианты 3-мерных несжимаемых течений 316
5.2 Дифференцируемые инварианты сопряженности симплектоморфизмов круга 319
5.2.1 Инварианты сопряженности на группе 3іш 319
5.2.2 Дифференцируемые функции на группе Зш 322
Заключение 331
Список литературы
