Введение
1 Классическое движениенаSO(2,2) гиперболоиде 12
1.1 Гиперболическое пространство H22 и константы движения 12
1.2 Потенциал гармонического осциллятора 16
1.3 Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби
1.3.1 Интегрирование квази-радиальной части 20
1.3.2 Интегрирование угловой части
1.4 Траектории для L2 0 24
1.5 Траектории для L2 0 29
1.6 Потенциал Кеплера-Кулона 32
1.7 Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби
1.7.1 Интегрирование квази-радиальной части 34
1.7.2 Интегрирование угловой части 36
1.8 Траектории 38
2 Квантовое движениенаSO(2,2) гиперболоиде 45
2.1 Общие формулы для H22 пространства в контексте квантовой механики 45
2.2 Уравнения Шредингера 47
2.3 Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора
2.3.1 Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора в псевдо-сферических координатах 50
2.3.2 Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора в цилиндрических координатах 52
2.3.3 Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора в эквидистантных координатах 54
2.4 Межбазисное разложение между цилиндрическим и эквидистантными системами 55
2.5 Решение уравнения Шредингера для задачи Кеплера-Кулона 58
3 Движение на однополостном и двухполостном гиперболоидах SO(3,1) 62
3.1 Гиперболическое пространство H13 и константы движения 62
3.2 Классическая задача Кеплера-Кулона на одно-полосом гиперболоиде SO(3,1) 65
3.3 Разложение собственных функций задачи Кеплера-Кулона на мнимом пространстве Лобачевского 73
3.4 Квантовая задача гармонического осциллятора на двух-полосом гиперболоиде H31
3.4.1 Координатные системы на трёхмерном двухполостном гиперболоиде 84
3.4.2 Сферическая система координат 86
3.4.3 Полярно-Цилиндрическая система координат 88
3.4.4 Алгебра 92
3.4.5 Разложение между сферическим и цилиндрическим базисом 92
3.4.6 Разложения для дискретного спектра 92
3.4.7 Разложение непрерывного спектра 95
Заключение 103
Приложение 105
4.1 Коммутационные соотношения тензора Демкова 105
4.2 Вычисление интегралов 106
4.3 Преобразования гипергеометрических функций 4F3 и 3F2 от единичного аргумента 106
4.4 Вычисление интегралов для сферическо – полярно-цилиндрического разложения
4.4.1 Дискретно-дискретное разложение 106
4.4.2 Непрерывно-дискретное разложение 108
4.5 Определение полиномов дискретной переменной Вильсона, Рака и Хана 108
4.5.1 Вильсон 108
4.5.2 Рака 109
4.5.3 Хан 109
Список литературы
