Введение
1 Многомерные вероятностные уравнения 19
1.1 Модель Фарлей-Бунемановской неустойчивости в ионосфере Земли 19
1.1.1 Постановка задачи 20
1.1.2 Дискретизация по пространству и скоростям 24
1.1.3 Расщепление по времени 28
1.1.4 Начальные состояния плотности электронов и распределения ионов 29
1.2 Основное кинетическое уравнение для стохастической химической кинетики 30
1.3 Схемы интегрирования эволюционных уравнений 36
1.3.1 Одновременная дискретизация в пространстве и времени . 37
1.3.2 Нахождение стационарного решения неявным методом Эйлера 41
2 Представления и аппроксимации тензорными произведениями 43
2.1 Разделение переменных в двух и многих размерностях 43
2.1.1 Малоранговое разложение матрицы 44
2.1.2 Канонический формат и формат Таккера 45
2.1.3 Рекуррентные тензорные представления 50
2.1.4 Обозначения для работы с тензорными форматами 52
2.1.5 Основные операции в TT формате 55
2.2 Квантизованные тензорные аппроксимации 60
2.2.1 Формат QTT: Quantized Tensor Train 60
2.2.2 QTT-Tucker: двухуровневое разделение исходных и виртуальных переменных 62
2.2.3 Преобразования из TT в расширенный TT и QTT-Tucker форматы 66
2.2.4 Операции в формате QTT-Tucker 67
2.2.5 Округление в формате QTT-Tucker 68
3 Представления основных функций, векторов и матриц в тензорных произведениях 71
3.1 Тензорные представления в блочной временной схеме 72
3.1.1 Тензорная структура блочной пространственно-временной матрицы 72
3.1.2 Матрицы сдвига и конечных разностей в QTT формате . 73
3.2 Матрицы перехода для ионного уравнения модели Фарлей-Бунемановской неустойчивости 74
3.3 Тензорные свойства основного кинетического уравнения 76
3.3.1 Матрица ОКУ для случая цепи каскадных реакций 77
3.4 Обращение дискретного оператора Лапласа и преобразование Фурье 78
4 Итерационные методы в тензорных форматах 81
4.1 Итерационные методы с приближенными тензорными операциями . 81
4.2 Оптимизация на элементах тензорных форматов 85
4.2.1 Классические итерации и методы переменных направлений . 85
4.2.2 Решение задач линейной алгебры с помощью оптимизации . 87
4.2.3 Проблема адаптация рангов и двухблочный DMRG 88
4.3 Адаптивные методы переменных направлений для решения линейных систем высоких размерностей 93
4.3.1 Понятие расширения формата 93
4.3.2 Метод неточного градиентного спуска и его анализ 94
4.3.3 AMEn: комбинация градиентного спуска и переменных направлений 98
4.3.4 AMEn и одноблочный DMRG с дополнительной переменной 104
4.4 Практические особенности реализации алгоритмов DMRG и AMEn 106
4.4.1 Вычисления в локальных системах 106
4.4.2 Аппроксимация решения 108
4.4.3 Аппроксимация невязки: сингулярное разложение 108
4.4.4 Аппроксимация невязки: ALS метод 109
4.4.5 AMEn алгоритм для быстрой аппроксимации матричного произведения 110
4.4.6 AMEn и DMRG для формата QTT-Tucker 111
5 Численные эксперименты 116
5.1 Основное кинетическое уравнение для сетей биологических реакций 117
5.1.1 Каскад реакций на коротком промежутке времени: сравнение методов 117
5.1.2 Каскад реакций на большом промежутке времени 123
5.1.3 Генетический переключатель с параметром 125
5.1.4 -фаг 129
5.2 Моделирование Фарлей-Бунемановской неустойчивости 134
Заключение 139
Список обозначений 141
Литература
