Введение
1 Введение 5
1.1 Суперсимметричная теория Янга-Миллса 6
1.2 Дуальность Монтонена-Олива и теория Зайберга-Виттена 9
1.3 Дуальность Малдасены 14
1.4 Содержание диссертации 16
1.5 Результаты выносимые на защиту диссертации 17
2 Дуальность Алдая-Малдасены 19
2.1 Гипотеза Алдая-Малдасены для волнистой окружности 21
2.2 Абелев двойной интеграл 23
2.2.1 Примеры 24
2.2.2 Производящие функции 25
2.3 Минимальная поверхность 28
2.3.1 Пертурбативное вычисление минимальной поверхности 28
2.3.2 Обращение оператора Намбу-Гото 30
2.3.3 Первые члены разложения a(h) 31
2.3.4 Выражения для A(1|1), A(2|1) и A(3|1) 32
2.3.5 Выражение для A(2|2) 32
2.4 Конформная инвариантность 34
2.4.1 Инвариантность двойного контурного интеграла 34
2.4.2 Инвариантность минимальной площади 35
2.4.3 О непертурбативных методах 37
2.5 Могомерный случай 38
2.5.1 Уравнения движения 38
2.5.2 Явные выражения 40
2.5.3 Конформная инвариантность в многомерном случае 40
2.5.4 Многомерное обобщение производной Шварца 44
2.6 Выводы 46
3 Дуальностьвтрех измерениях 48
3.1 Модулярное ядро 48
3.2 Примеры из теории узлов 50
3.2.1 Представление через квантовый дилогарифм 52
3.2.2 Формализм Хиками в теории Черна-Саймонса 53
3.2.3 Спектральные кривые и топологическая рекурсия 54
3.3 Трехмерное соотношение Алдая-Гайотто-Тачикавы 55
3.4 Альтернативная дуальность 56
3.5 Выводы 57
4 S-дуальность: пертурбативный подход 59
4.1 Коэффициенты Рака-Вигнера для алгебры Вирасоро [95] 59
4.1.1 Определения 59
4.1.2 Различные модулярные преобразования 61
4.1.3 Коэффициенты Рака-Вигнера для представлений Uq(sl2) 62
4.2 Конформные блоки и статистическая сумма в теории Янга-Миллса . 64
4.2.1 Статистическая сумма Некрасова 64
4.2.2 Матричные модели 65
4.3 Пертурбативное модулярное преобразование 67
4.3.1 Простейший случай и общая стратегия 67
4.3.2 Точно решаемые случаи 69
4.3.3 Преобразование Фурье из алгебры Uq(sl2) 70
4.4 Разложение по родам в матричных моделях и пертурбативные поправки к модулярному ядру 71
4.4.1 Петлевые уравнения 71
4.4.2 Посторение модулярного ядра 73
4.4.3 Несколько первых членов разложения 74
4.5 S-дуальность в пределе Некрасова-Шаташвили: комментарии и замечания 75
4.5.1 Модулярные преобразования на торе 76
4.5.2 Преобразование S-дуальности для эффективной константы связи 78
4.5.3 Полная группа дуальности 79
4.6 Выводы 82
5 S-дуальность: непертурбативный подход 84
5.1 Дуальность и собственные функции дуальных операторов 84
5.2 Чек-операторы 85
5.2.1 Петлевые уравнения и их симметрии 85
5.2.2 Резольвенты в представлении чек-операторов [14, 13] 88
5.2.3 Пара дуальных чек-операторов 90
5.3 Непертурбативное модулярное преобразование 91
5.3.1 Фазовая неоднозначность 91
5.3.2 Непертурбативные дуальные монодромии: торический случай . 93
5.3.3 Чек-операторы и линейные дефекты 94
5.3.4 Четырехточечный конформный блок на сфере 97
5.4 Непертурбативное модулярное ядро 98
5.5 Выводы 101
6 Заключение 102
7 Приложения
