Введение
1 Введение 4
1.1 История вопроса и классические результаты 6
1.2 Необходимые определения 17
1.3 Постановка обобщенной задачи Бертрана 21
1.4 Описание результатов 22
2 Обобщенная задача Бертрана на многообразиях враще ния без экваторов 32
2.1 Формулировка основных результатов 32
2.1.1 Решение обобщенной задачи Бертрана 32
2.1.2 Геометрия и классификация поверхностей Бертрана 36
2.2 Доказательство основных утверждений 46
2.2.1 Вспомогательные утверждения 46
2.2.2 Частный случай: конус 49
2.2.3 Общий случай движения в центральном поле сил 51
3 Обобщенная задача Бертрана на многообразиях враще ния с экваторами 59
3.1 Принцип Мопертюи и некоторые вспомогательные утвер ждения 60
3.1.1 Принцип Мопертюи и вполне бертрановы многообразия 60
3.1.2 Некоторые свойства вполне бертрановых пар
3.2 Классификация вполне бертрановых пар 70
3.3 Случай цилиндра 78
3.4 Классификация устойчиво бертрановых пар 80
3.5 Обоснование диаграммы включения классов замыкающих потенциалов
Некоторые геометрические и аналитические свойства мно гообразий Бертрана с метрикой ds2 d 84
4.1 Реализуемость многообразий Бертрана 84
4.1.1 Глобальная реализуемость римановых многообразий Бертрана 85
4.1.2 Локальная реализуемость римановых многообразий Бертрана 89
4.2 Явный вид метрики 94
5 Гамильтоновы системы 96
5.1 Некоторые определения 96
5.2 Гамильтоновы системы на многообразиях вращения 98
5.3 Пополненные бифуркационные диаграммы натуральных механических систем на многообразиях Бертрана 100
Список литературы
