Введение
Глава 1. Шестивершинная модель с граничными условиями типа доменной стенки 12
1.1. Определение модели и формула Изергина–Корепина для статистической суммы 12
1.1.1. Вершинные конфигурации и веса 12
1.1.2. Граничные условия доменной стенки 13
1.1.3. Неоднородная модель 15
1.1.4. Формула Изергина–Корепина 15
1.2. Комбинаторные приложения 16
1.2.1. Замощения домино ацтекского диаманта 16
1.2.2. Матрицы чередующихся знаков 19
1.2.3. Некоторые результаты о перечислениях матриц чередующихся знаков 21
1.2.4. Явления разделения фаз 23
1.3. Эквивалентные представления для статистической суммы 24
1.3.1. Некоторые сведения из теории ортогональных полиномов 25
1.3.2. Преобразование определителя в формуле Изергина–Корепина 27
1.3.3. Представления в терминах определителей Фредгольма линейных интегральных операторов 29
1.3.4. Представление в виде определителя Фредгольма конечной матрицы 33
Глава 2. Граничные корреляционные функции шестивершинной модели 37
2.1. Формулировка модели в терминах квантового метода обратной задачи 37
2.1.1. -оператор и матрица монодромии 37
2.1.2. Алгебра Янга–Бакстера 40
2.1.3. «Двуузельная» модель 41
2.1.4. Рекуррентное соотношение для статистической суммы 43
2.2. Одноточечные граничные корреляционные функции 45
2.2.1. Определение граничных корреляционных функций 45
2.2.2. Вычисление для неоднородной модели 47
2.2.3. Явные выражения в точке свободных фермионов 49
2.2.4. Результаты в однородном пределе 51
2.3. Двухточечные граничные корреляционные функции 52
2.3.1. Определение и вычисление для неоднородной модели 52
2.3.2. Результаты в однородном пределе 56
2.3.3. Представление через ортогональные полиномы 57
2.3.4. Представление через одноточечные функции 60
Глава 3. Приложения к задачам перечислений матриц чередующихся знаков 62
3.1. Статистическая сумма и перечисления матриц чередующихся знаков 62
3.1.1. Некоторые свойства формулы Изергина–Корепина 62
3.1.2. Линия свободных фермионов 65
3.1.3. Точка льда и число матриц чередующихся знаков 66
3.1.4. Дуальная точка льда и 3-перечисления 67
3.2. Граничная корреляционная функция и детальные перечисления матриц чередующихся знаков 69
3.2.1. Свойства граничной корреляционной функции 70
3.2.2. Линия свободных фермионов 73
3.2.3. Точка льда и детальные 1-перечисления 74
3.2.4. Дуальная точка льда и детальные 3-перечисления 76
3.3. Доказательство теоремы о детальных 3-перечислениях матриц чередующихся знаков 79
3.3.1. Вывод рекуррентного соотношения 79
3.3.2. Производящая функция как решение линейного дифференциального уравнения 81
3.3.3. Кубическое преобразование производящей функции 83
3.3.4. Явный вид производящей функции 87
Глава 4. Нелокальные корреляционные функции шестивершинной модели 89
4.1. Вероятность образования пустоты 89
4.1.1. Определение вероятности образования пустоты 89
4.1.2. Рекуррентное соотношение и частные значения 91
4.1.3. Выражение для неоднородной модели 93
4.1.4. Выражение в однородном пределе 95
4.2. Представление для вероятности образования пустоты в виде многократного интеграла 97
4.2.1. Преобразование к интегральному представлению 97
4.2.2. Многоточечная производящая функция 99
4.2.3. Симметризация подынтегрального выражения 102
4.2.4. Эквивалентные интегральные представления 104
4.3. Вероятность конфигурации ряда 106
4.3.1. Определение вероятности конфигурации ряда 107
4.3.2. Статистическая сумма на верхней подрешетке 108
4.3.3. Статистическая сумма на нижней подрешетке 110
4.3.4. Связь с вероятностью образования пустоты 112
Глава 5. Арктическая кривая шестивершинной модели и предельная форма матриц чередующихся знаков 115
5.1. Разделение фаз и свойства вероятности образования пустоты 115
5.1.1. Разделение фаз и арктическая кривая 115
5.1.2. Вероятность образования пустоты и термодинамический предел 118
5.1.3. Точки касания границы арктической кривой 121
5.1.4. Асимптотика производящей функции в разупорядоченной фазе 123
5.2. Уравнения перевала и гипотеза конденсации 127
5.2.1. Случай точки свободных фермионов 128
5.2.2. Конденсация корней и арктический эллипс 132
5.2.3. Гипотеза конденсации в общем случае 135
5.2.4. Редуцированное уравнение перевала 137
5.3. Арктическая кривая и ее частные случаи 138
5.3.1. Предельная форма матриц чередующихся знаков 139
5.3.2. Арктическая кривая в параметрической форме 142
5.3.3. Уравнения арктической кривой для частных значений параметров 145
5.3.4. Производящая функция в антисегнетоэлектрической фазе 148
Глава 6. Фазовый переход третьего рода в замощениях домино 153
6.1. Вероятность образования пустоты в точке свободных фермионов 153
6.1.1. Представления в терминах ганкелевых определителей 153
6.1.2. Представления в терминах определителей Фредгольма 158
6.1.3. Представление через дифференциально-разностные уравнения 163
6.1.4. Представление через -функцию шестого уравнения Пенлеве 171
6.2. Фазовый переход в замощениях домино 178
6.2.1. Свободная энергия на L-образной области и замощения домино 178
6.2.2. Фазовый переход третьего рода 183
6.2.3. Частный случай квадратной замороженной области 186
6.2.4. Формулировка задачи в терминах дискретного кулоновского газа 190
6.3. Вывод выражения для свободной энергии на L-образной области 193
6.3.1. Резольвента дискретного кулоновского газа 194
6.3.2. Явные выражения для резольвенты 197
6.3.3. Свободная энергия дискретного кулоновского газа в режиме I 202
6.3.4. Свободная энергия дискретного кулоновского газа в режиме II 205
Глава 7. Пятивершинная модель и плоские разбиения 210
7.1. Пятивершинная модель в точке свободных фермионов и плоские разбиения в ящике 210
7.1.1. Формулировка модели и связь с плоскими разбиениями 210
7.1.2. Пятивершинная модель и фермионы 213
7.1.3. Свойства операторов и статистическая сумма 217
7.1.4. Одноточечная корреляционная функция 221
7.2. Неоднородная пятивершинная модель и взвешенные перечисления плоских разбиений 224
7.2.1. Неоднородная пятивершинная модель 224
7.2.2. Операторная формулировка и детерминантные представления 226
7.2.3. Матричные произведения 229
7.2.4. Статическая сумма и одноточечная функция 233
7.3. Пятивершинная модель с произвольными весами 235
7.3.1. Детерминантная формула пятивершинной модели 236
7.3.2. Комбинаторная интерпретация 240
7.3.3. Статистическая сумма в однородном пределе 243
7.3.4. Эквивалентные представления для статистической суммы 244
Заключение 248
Список литературы
