Введение
1 Основные свойства 35
1.1 Существование и единственность решений 36
1.2 Условия Стрэнга-Фикса 42
1.3 Приближения 53
1.4 Стабильность и ортогональность 55
1.4.1 Линейная независимость 55
1.4.2 Стабильность и свойство базиса Рисса 62
1.4.3 Ортогональность 66
1.5 Гладкость масштабирующих функции 68
1.5.1 Метод поточечной оценки 68
1.5.2 Матричный метод 69
1.6 Примеры 73
2 Гладкость фрактальных кривых 77
2.1 Фракталы и масштабирующие функции 77
2.2 Фрактальные кривые в Lp 88
2.3 Гладкость в W^ и С1 91
2.4 Локальная гладкость 97
2.5 Примеры 114
3 Иерархия масштабирующих уравнений 119
3.1 Операторы чистого полинома 120
3.2 Очистка произвольного полинома 125
3.3 Ядра и корневые подпространства 132
3.4 Общие собственные подпространства 135
3.5 Структура операторов То, Ті 139
3.6 Факторизация масштабирующих уравнений 143
3.7 Пространство V 147
3.8 Гладкость масштабирующих фушощй 151
3.9 Модули непрерывности 155
3.10 Локальная гладкость в каждой точке 156
3.11 Сходимость каскадного алгоритма 160
3.12 Сходимость итерационного процесса 175
3.13 Точность критерия сходимости 179
3.14 Зависимость решений от коэффициентов 182
3.15 Построение решений 186
3.16 Многообразие масштабирующих уравнений 191
Специальные случаи и приложения 194
4.1 Малые степени 194
4.1.1 Случай degmo — 0. Масштабирующие сплайны . 195
4.1.2 Случай degmo — 1- Два сжатия на прямой 196
4.1.3 Случай degm0 = 2 198
4.1.4 Случай degm0 > 3. Высокие степени 202
4.1.5 Примеры 207
4.2 Гладкость всплесков 214
4.3 Локальная гладкость всплесков Добеши 216
4.4 Кривые де Рама 221
4.4.1 Основные свойства кривых де Рама 223
4.4.2 Представление в виде фрактальной кривой 225
4.4.3 Несколько вспомогательных утверждений 231
4.4.4 Локальная и глобальная гладкость 235
4.4.5 Распределение точек фиксированной локальной гладкости 245
4.4.6 Оценка средней гладкости 249
4.5 Распределение вероятностного ряда 258
4.5.1 Постановка задачи 258
4.5.2 Связь с масштабирующими уравнениями 260
4.5.3 Критерий существования плотности 263
4.5.4 Особые случаи 267
4.5.5 Применения критерия абсолютной непрерывности 269
4.5.6 Точность критерия 271
4.5.7 Уравнения с положительными коэффициентами . 274
4.6 Кусочно-гладкие функции 282
4.6.1 Классификация масштабирующих сплайнов. Постановка задачи 282
4.6.2 Классификация кусочно-гладких масштабирующих функций 285
4.6.3 Структура масштабирующих сплайнов и сходимость уточняющих схем 290
4.6.4 Вторая факторизационная теорема 294
4.7 Функция разбиения Эйлера 296
Список литературы 302
Предметный указатель 312
