Введение
ГЛАВА I. Задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби 27
1. Уравнения Гамильтона-Якоби. Основные понятия 27
1.1. Классическое решение задачи Коши и классический метод характеристик Коши для уравнения Гамильтона-Якоби. 28
1.2. Вязкостное решение уравнения Гамильтона-Якоби 32
2. Обобщение и релаксация классического метода характеристик для уравнения Гамильтона-Якоби 34
2.1. Обобщенные характеристики и непрерывное минимаксное решение уравнения Гамильтона-Якоби 34
2.2. Теоремы существования и единственности непрерывного минимаксного решения в задаче Коши для уравнения Гамильтона-Якоби 37
2.3. Дифференцируемость по направлению, суб- и супер-дифференциалы негладких функций 38
2.4. Свойства инвариантности множеств относительно дифференциальных включений 40
2.5. Эквивалентные определения минимаксного решения .41
ГЛАВА II. Классический и обобщенный методы характеристик в задачах оптимального управления 45
3. Постановка задачи оптимального управления 45
3.1. Программная задача оптимального управления 45
3.2. Основные предположения 46
3.3. Обобщенные программные управления 47
4. Функция цены в задаче оптимального управления 49
4.1. Принцип оптимальности 49
4.2. Репрезентативная формула функции цены в задаче оптимального управления 50
4.3. Свойства гладкости функции цены 52
5. Функция цены и минимаксное решение уравнения Гамильтона- Якоби-Беллмана 54
5.1. Предварительные сведения 54
5.2. Обобщенное уравнение Беллмана и его минимаксное решение 55
6. Принцип максимума Понтрягина и классические характеристики Коши для уравнения Беллмана 59
6.1. Случай дифференцируемых входных данных 59
6.2. Предварительные конструкции 61
6.3. Необходимые условия оптимальности 66
6.4. Связь принципа максимума Понтрягина с методом характеристик Коши для уравнения Беллмана 74
7. Необходимые и достаточные условия оптимальности 79
7.1. Принцип максимума Понтрягина и супердифференциал функции цены 79
7.2. Необходимые и достаточные условия оптимальности в случае невыпуклой вектограммы и обобщенных управлений. 82
7.3. Репрезентативная формула минимаксного решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана в терминах классических характеристик Коши 88
8. Метод динамического программирования и оптимальный синтез в позиционной задаче оптимального управления 98
8.1. Формализации позиционной задачи управления 98
8.2. Классический метод динамического программирования и непрерывный оптимальный синтез 101
8.3. Необходимые и достаточные условия оптимальности разрывного синтеза 103
ГЛАВА III. Обобщение метода характеристик в теории минимаксных решений сингулярно возмущенных уравнений Гамильтона-Якоби 117
9. Сингулярно возмущенные уравнения Гамильтона-Якоби. 118
9.1. Постановка задачи Коши Рє для сингулярно возмущенного уравнения Гамильтона-Якоби 118
9.2 Минимаксное решение в задаче Рє 119
10. Формулировка и обсуждение основного результата 123
10.1. Достаточные условия сходимости 123
10.2. Комментарии 127
11. Доказательство основного результата 131
11.1. Вспомогательные сведения 131
11.2. Доказательство теоремы III.1 131
12. Пример 144
ГЛАВА IV. Приложения обобщенного метода характеристик для дифференциальных игр с быстрыми и медленными движениями . 147
13. Позиционная игровая задача управления Ge 148
14. Предварительные сведения 151
14.1. Функция цены дифференциальной игры G 151
14.2. Характеристические комплексы в задаче Коши Рє. 154
15. Основные предположения и формулировка результата 156
16. Достаточные условия сходимости функций цены сингулярно возмущенных игр 162
16.1. Свойства множеств У+, Yt 162
16.2. Доказательство основного результата 165
17. Пример 175
ГЛАВА V. Обобщение метода характеристик в теории минимаксных решений параболических уравнений 178
18. Функция цены стохастической дифференциальной игры и ее свойства. Обобщенные стохастические производные 181
18.1. Формализация позиционной стохастической дифференциальной игры 181
18.2. Обобщенные программные управления и порождаемые ими случайные процессы 184
18.3. Некоторые свойства обобщенных программных управлений и порождаемых ими случайных процессов 194
18.4. Свойства стабильности непрерывных функций 204
18.5. Обобщенные стохастические производные 205
19. Параболическое уравнение Гамильтона-Якоби-Айзекса и его минимаксное решение в терминах обобщенных стохастических производных 208
19.1. Основное уравнение для функции цены стохастической дифференциальной игры 208
19.2. Минимаксное решение краевой задачи (19.1)-(19.2). 209
19.3. Инфинитезимальная форма условий стабильности. 210
20. Обобщенные стохастические производные для функций не скольких переменных, дифференцируемых по части переменных 221
20.1. Класс функций, дифференцируемых по части переменных. Формулы стохастических производных 221
20.2. Доказательство формул для стохастических производных. 223
20.3. Применение формул для стохастических производных. 233
Литература 236
