Введение
Глава 1. Устойчивость и D-устойчивость семейства вещественных полиномов 19
1.1. Постановка задачи 19
1.2. Необходимые сведения из алгебры и теории дифференцируемых отображений 22
1.2.1. Отделение корней полиномов 22
Теоремы Якоби и Эрмита — Сильвестра 27
Результаты Кронекера 37
Безутианта 41
Параметры Маркова 44
Теория исключения. Случай двух переменных 45
Теория исключения. Случай нескольких переменных 47
Известные результаты 55
Устойчивость полиномов 78
1.2.2. Теория дифференцируемых отображений 80
1.3. Вещественные корни семейства полиномов 81
1.4. Устойчивость семейства полиномов 89
1.5. D-устойчивость семейства полиномов 92
1.6. Заключение 103
Глава 2. Собственные числа матриц 104
2.1. Вспомогательные результаты 105
2.2. Общие собственные числа двух матриц
2.2.1. Предварительные результаты 109
2.2.2. Алгоритм 115
2.2.3. Пример 116
2.3. Число обусловленности Гёльдера 118
2.3.1. Предварительные результаты 118
2.3.2. Максимальный порядок клетки Жордана 121
2.3.3. Собственные числа, которым соответствуют максимальные клетки Жордана 136
2.3.4. Пример 137
2.4. Кратные собственные числа матрицы 139
2.4.1. Алгоритм 142
2.4.2. Асимптотическая сложность алгоритма и повышение точности вычислений 143
2.4.3. Численный пример 145
Глава 3. Графы и матрицы 148
3.1. Линейные пространства над полем GF(2) 150
3.1.1. Теорема о циклах и разрезах 164
3.1.2. Факторизация матрицы над полем GF(2)
3.2. Графы как линейные отображения 175
3.3. Паросочетания и реберные покрытия 177
3.4. Распознавание реберного графа
3.4.1. Необходимые сведения из теории графов 180
3.4.2. Описание алгоритма 183
3.4.3. Алгоритм 185
3.4.4. Примеры 186
3.4.5. Оценка асимптотической сложности алгоритма 190
Глава 4. Метод Эйлера 192
4.1. Предварительные результаты. Ошибки округления 193
4.1.1. Абсолютная и относительная погрешности 193
4.1.2. Арифметика с плавающей точкой 195
4.2. Локально оптимальный шаг метода Эйлера 199
4.3. Реализация метода 205
4.4. Численные примеры 210
4.5. Оптимальное число шагов метода Эйлера 219
4.5.1. Вычислительный алгоритм 226
4.6. Обсуждение полученных результатов 235
Заключение 238
Список литературы
