Введение
ГЛАВА 1. Обзор работ по теории устойчивости математических моделей со случайными параметрами 12
1.1. Основные результаты по теории устойчивости вероятностных систем 12
1.2. Стохастические операторы 20
1.3. Марковские и полумарковские процессы 28
1.3.1. Классификация и определение марковских процессов 28
1.3.2. Полумарковский процесс с непрерывным временем 31
1.4. Вероятностные модели, описываемые системами линейных дифференциальных уравнений 40
1.5. Стохастическая устойчивость математических моделей систем 43
1.6. Методы исследования устойчивости динамических систем 47
1.6.1. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению 48
1.6.2. Метод функций Ляпунова 49
1.6.3. Метод моментных уравнений 57
1.7. Выводы по первой главе 54
ГЛАВА 2. Устойчивость вероятностных моделей, описываемых линейными системами с марковскими коэффициентами 57
2.1. Вывод моментных уравнений для математических моделей с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами 57
2.2. Исследование /^-устойчивости математических моделей 61
2.2.1. Понятие Ь2.-устойчивости 61
2.2.2. Построение функций Ляпунова для математических моделей нестационарных систем 63
2.2.3. Исследование Ь2-устойчивости математических моделей с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами 66
2.3. Выводы по второй главе 76
ГЛАВА 3. Устойчивость вероятностных моделей, описываемых линейными системами с полумарковскими коэффициентами 77
3.1. Моментные уравнения математических моделей с полумарковскими коэффициентами 77
3.1.1. Вывод уравнений для моментов первого и второго порядка для нестационарных моделей 77
3.1.2. Вывод моментных уравнений для математических моделей с кусочно-постоянными коэффициентами 88
3.2. Вывод уравнений для частных плотностей моделей, описываемых системой линейных стохастических дифференциальных уравнений 92
3.3. Исследование устойчивости математических моделей 97
3.2.1. Исследование Ь2-устойчивости моделей с помощью моментных уравнений 97
3.3.1. Построение функций Ляпунова для математических моделей, описываемых системой линейных дифференциальных уравнений 103
3.3.2. Построение функций Ляпунова для математических моделей, описываемых системой стохастических дифференциальных уравнений 108
3.4. Выводы по третьей главе 115
ГЛАВА 4. Применение метода моментных уравнений для построения математических моделей 116
4.1. Демографические процессы 116
4.2. Математические модели динамики численности населения 118
4.3. Вероятностная модель народонаселения 122
4.3.1. Построение модели 122
4.3.2. Методика расчета модели 125
4.3.3. Моделирование динамик и численности населения мира 129
4.3.4. Сравнительная характеристика результатов моделирования 139
4.4. Вероятностная модель динамики развития фирмы 142
4.5. Выводы по четвертой главе 145
Заключение 146
Литература
