Введение
Глава 1. Обзор существующих методов и постановка задачи 16
Системы линейных алгебраических уравнений 16
Численные методы решения СЛАУ 16
Метод минимальных невязок 19
Многошаговый метод минимальных невязок 21
Использование предобуславливателей 23
Экономия вычислительных ресурсов в итерациях 25
Решение интегральных уравнений 28
Рассматриваемые интегральные уравнения 28
Уравнения с вырожденным ядром и резольвента 31
Дискретизация методом Галеркина 34
Метод коллокации для кусочно-постоянной аппроксимации 35
Постановка задачи 39
Глава 2. Изложение предлагаемых методов 41
Разреженный предобуславливатель для одномерных интегральных уравнений 42
Кусочно-постоянный предобуславливатель 42
Предобуславливатель для уравнения в пространстве непрерывных функций 48
Предобуславливатель в пространстве функций, непрерывных с производной 52
Предобуславливатель для уравнений с периодическими функциями 55
Обобщение разреженного предобуславливателя на многомерные задачи 63
Структура предобуславливателя в многомерном случае 63
Предобуславливатель в пространстве многомерных непрерывных функций 66
Многомерный предобуславливатель для периодических функций 69
Предобуславливатель для систем интегральных уравнений 72
Плотный предобуславливатель для интегральных уравнений 73
Предобуславливатель на основе резольвенты 73
Плотный предобуславливатель с непрерывной резольвентой 76
Плотный предобуславливатель для систем интегральных уравнений 78
Формирование плотного предобуславливателя с внешним параметром 79
Сокращение количества операций при умножении на вектор S2
Некоторые вопросы сходимости рассматриваемых итерационных методов при решении интегральных уравнений 83
Обоснование возможности подбора предобуславливателя 83
Обход отсутствия сходимости метода минимальных невязок 88
Глава 3. Программная реализация и численные эксперименты 92
Платформа для проведения экспериментов 92
Реализованное программное обеспечение 92
Примеры интегральных уравнений с плохой сходимостью 93
Численные эксперименты 97
Формирование прототипа матрицы СЛАУ 97
Сходимость для одномерного интегрального уравнения 99
Сходимость для одномерного уравнения с периодическими функциями 109
Сходимость для двумерного интегрального уравнения 117
Соответствие сходимости для сеток разных размерностей 120
Эффективность модификации ММН и МММН 123
Выводы 124
Глава 4. Применение к задачам математического моделирования 126
Решение задачи рассеяния электромагнитных волн 126
Теоретическое описание математической модели 126
Аналитическая подготовка к вычислениям 129
Численное решение и результаты 131
Расчет звукового излучения в пространстве 138
Описание задачи математического моделирования 138
Результаты численного решения 140
Заключение 144
Список литературы 148
