Введение
1 Алгебра Пуанкаре в асимптотически плоском пространстве-времени 12
1.1 Постановка задачи 12
1.2 Алгебра связей и поверхностные интегралы 14
1.3 Асимптотическая группа Пуанкаре 17
1.4 Линеаризация поверхностных интегралов 21
1.5 Критерий реализации алгебры Пуанкаре 22
1.6 Выбор гиперповерхности и фоновой метрики 30
1.7 Выводы 33
2 Асимптотические законы сохранения 36
2.1 Постановка задачи 36
2.2 Применение к каноническому формализму общей теории относительности 39
2.2.1 Первая теорема Петер 43
2.2.2 Вторая теорема Нетер 45
2.2.3 Несобственный закон сохранения 46
2.2.4 Глобальный подход и сохранение поверхностных интегралов 48
2.3 Применение к электродинамике 54
2.4 Выводы 56
Скобки Пуассона, удовлетворяющие тождеству Якобиточно 58
3.1 Постановка задачи 58
3.2 Обозначения и математический аппарат 64
3.3 Мотивация новых скобок Пуассона из формулы для полной вариации 68
3.4 Поверхностные члены и обобщенные функции 71
3.5 Полная вариационная производная и правило умножения: к неформальному вариационному исчислению 75
3.6 Доказательства тождества Якоби 79
3.6.1 Простейший случай 79
3.6.2 Доказательство для ультралокального случая . 81
3.6.3 Доказательство для неультралокального случая . 84
3.7 Выводы 91
Дивергенции в формальном вариационном исчислении 94
4.1 Постановка задачи 94
4.2 Локальные функционалы и эволюционные векторные поля 101
4.3 Дифференциалы и функциональные формы 107
4.4 Дифференциальные операторы и их сопряженные . 108
4.5 Мульти-векторы, смешанные тензоры и скобка Схоуте-на-Нейенхейса 110
4.6 Скобки Пуассона и гамильтоновы векторные поля . 115
4.7 Доказательство тождества Якоби 118
4.8 Примеры: неультралокальные операторы 121
4.9 Выводы 123
5 Альтернативное предложение для граничного вклада в скобку Пуассона 124
5.1 Постановка задачи 125
5.2 Дифференциальные подстановки 129
5.3 Стандартная скобка 131
5.4 Общий подход к скобкам Беринга и автора 132
5.5 Дифференциальные подстановки и скобка Беринга . 135
5.6 Дифференциальные подстановки и скобка автора . 136
5.7 Выводы 137
6 Особенности канонического формализма Аштекара 144
6.1 Постановка задачи 144
6.2 Преобразование Аштекара 145
6.3 Некоммутативность вариационных производных . 149
6.4 Поверхностные члены и J-функция 152
6.5 Поверхностные члены в АДМ формализме 154
6.6 Поверхностные члены в формализме Аштекара 156
6.7 Выводы 162
7 Вычисление энтропии черной дыры из поверхностных членов в скобках Пуассона 165
7.1 Постановка задачи 165
7.2 Обозначения и идея расчета энтропии 167
7.3 Метод Редже-Тейтельбойма 172
7.4 Новые скобки Пуассона 174
7.5 Выводы 177
8 Гидродинамика идеальной жидкости со свободной поверхностью 180
8.1 Постановка задачи 180
8.2 Вариационный принцип в лагранжевых переменных . 185
8.2.1 Фиксированная граница 186
8.2.2 Свободная граница 188
8.3 Гамильтонов формализм в лагранжевых переменных . 191
8.3.1 Фиксированная граница 191
8.3.2 Свободная граница 192
8.4 Гамильтонов формализм в эйлеровых переменных . 193
8.4.1 Фиксированная граница 193
8.4.2 Свободная граница 198
8.5 Вариационный принцип в эйлеровых переменных . 199
8.5.1 Фиксированная граница 200
8.5.2 Свободная граница 203
8.6 Альтернативный вывод гамильтонова формализма в эйлеровых переменных 206
8.6.1 Фиксированная граница 206
8.6.2 Свободная граница 207
8.7 Выводы 211
Заключение 213
Библиография 217
