Введение
Глава 1. Гравитационные модели с нелокальны ми скалярными полями 34
1.1. Нелокальное скалярное поле 34
1.1.1. Нарушение условий энергодоминантности 34
1.1.2. Нелокальное скалярное поле, порождённое полевой теорией струн 36
1.1.3. Гравитация с нелокальным скалярным полем 39
1.2. Нелокальные модели в пространстве Минковского, связанные с теорией струн 42
1.2.1. Корни функции J-(n\)j связанной со струнной теорией поля 42
1.2.2. Интегральная формула для тензора энергии-импульса в случае J-Sft 45
1.2.3. Представление Остроградского 47
1.2.4. Неквадратичный потенциал 49
1.3. Поиск точных частных решений путём локализации гравитаци онных моделей 49
1.3.1. Гравитационная модель с нелокальным скалярным полем и квадратичным потенциалом 49
1.3.2. Тензор энергии-импульса для частных решений 51
1.3.3. Алгоритм локализации для случая С\ = 0 55
1.3.4. Случай ненулевого С\ 59
1.4. Точные решения для моделей с квадратичным потенциалом 61
1.4.1. Точные решения в метрике ФЛРУ 61
1.4.2. Точные решения в метрике Бьянки I 63
1.5. Способы изучения нелокальных космологических моделей с про извольным потенциалом 65
1.5.1. Нелокальное уравнение Клейна-Гордона
1.5.2. Кубический потенциал 66
1.5.3. Логарифмический потенциал 69
1.5.4. Экспоненциальный потенциал 70
1.5.5. Степенной потенциал 70
1.6. Космологическая модель с нелокальным скалярным полем и полем /с-эссенции 71
Глава 2. Нелокальные гравитационные модели 75
2.1. Нелокальная модификация гравитации 75
2.2. Модель с аналитической функцией от оператора Даламбера 77
2.3. Формулировка в виде ОТО с неминимально взаимодействующим нелокальным скалярным полем 78
2.4. Анзац для поиска точных решений 79
2.5. Связь нелокальной модели с моделями R2 гравитации 80
2.6. Точное космологическое решение без радиации 81
Глава 3. Модель с обратным оператором далам бера 84
3.1. Локализация модели 84
3.2. Реконструкция функции /(ф) по заданному виду параметра Хаббла 87
3.3. Решения де Ситтера 89
3.4. Решения с параметром Хаббла, обратно пропорциональным времени 91
3.5. Степенные решения для заданного /(ф) 94
3.6. Модели с решениями де Ситтера и степенными решениями 95
3.7. Особые случаи степенных решений 98
3.8. Процедура реконструкции для модели с более сложной материей 100
3.9. Решения де Ситтера в случае показательной функции /(ф) 101
3.10. Стабильность решений де Ситтера 103
3.10.1. Изотропные и анизотропные возмущения. Метрика Бьян ки I 103
3.10.2. Случай ненулевого Л 107 3.10.3. Случай Л = 0 109
3.11. Степенные решения для модели с показательной функцией 113
3.11.1. Случаи нулевого и ненулевого Л 113
3.11.2. Доказательство отсутствия степенных решений в случае
3.11.3. Специальные значения параметра п 119
Глава 4. Космологические модели с минимально связанными скалярными полями. метод реконструкции потенциала 121
4.1. Задача реконструкции потенциала 121
4.2. Модель с фантомным скалярным полем 125
4.2.1. Связь с теорией струн 125
4.2.2. Космологическая модель с точным решением типа кинка 127
4.2.3. Космологические следствия 130
4.2.4. Эволюция точного решения и форма потенциала 132
4.2.5. Стабильность точных решений 135
4.3. Космологическая модель с фантомным скалярным полем и тём ной материей 139
4.3.1. Действие и уравнения 139
4.3.2. Численные решения 140
4.4. Модель с двумя скалярными (фантомными) полями 146
4.4.1. Суперпотенциал для моделей с двумя полями 146
4.4.2. Двухполевые модели, связанные с теорией струн 148
4.4.3. Применение суперпотенциала в квинтомных моделях
1 4.4.4. Различные потенциалы с одинаковыми решениями 153
4.4.5. Квинтомная модель с потенциалом 6-ой степени
4.4.6. Построение моделей с двухпараметрическим множеством точных решений 156
4.4.7. Обобщение однопараметрического решения 160
4.4.8. Другой выбор условий на коэффициенты суперпотенциала 165
4.5. Стабильность решений, стремящихся к фиксированной точке 168
4.5.1. Стабильность по Ляпунову 168 4.5.2. Изотропные решения в метрике Бьянки I 170
4.5.3. Построение стабильных решений методом суперпотенциала 171
4.5.4. Стабильность полученных точных решений 172
Глава 5. Космологические модели с неминимально связанными скалярными полями 174
5.1. Точные решения и интегрируемые модели 174
5.2. Применение метода суперпотенциала в моделях с неминимально взаимодействующим скалярным полем
5.2.1. Уравнения Фридмана 176
5.2.2. Масштабный фактор как независимая переменная 179
5.2.3. Квадратичная функция неминимального взаимодействия
5.2.4. Построение моделей с решением де Ситтера 181
5.2.5. Решения с функцией гиперболического тангенса 183
5.2.6. Построение моделей с полиномиальными потенциалами 186
5.3. Модель индуцированной гравитации с немонотонным поведени
ем параметра Хаббла 188
5.3.1. Точные решения 188
5.3.2. Стабильность полученных решений 191
5.4. Интегрируемые космологические модели 196
5.4.1. Соотношение между общими решениями в моделях с минимально и неминимально связанными скалярными полями 196
5.4.2. Новые интегрируемые модели 199
5.5. Модель индуцированной гравитации со степенным потенциалом 201
5.5.1. Построение линейных уравнений 201
5.5.2. Явный вид решений 203
5.5.3. Решения как функции космического времени 207
5.6. Связь между решениями в формулировках Иордана и Эйнштейна208
Глава 6. Развитие метода построения эллиптических решений неинтегрируемых систем 211
6.1. Свойство Пенлеве и интегрируемость 211
6.2. Тест Пенлеве и алгоритмы поиска точных частных решений 214
6.3. Построение решений в виде рядов Лорана с помощью теста Пенлеве
6.3.1. Обобщённый гамильтониан Хенона-Хейлеса 218
6.3.2. Результаты теста Пенлеве для системы Хенона-Хейлеса
С/І = 0 220
6.3.3. Нахождение решений в виде формальных рядов Лорана 223
6.3.4. Связь с уравнением четвёртого порядка 227
6.3.5. Нахождение решений в виде рядов Лорана в случае произвольного /І 228
6.4. Решения системы Хенона-Хейлеса в виде эллиптических и вы
рожденных эллиптических функций 230
6.4.1. Новые двухпараметрические точные решения в двух неинтегрируемых случаях системы Хенона-Хейлеса 230
6.4.2. Пример точного двухпараметрического решения 235
6.4.3. Другой способ поиска эллиптических решений 237
6.5. Доказательство отсутствия эллиптических решений комплексного кубического уравнения Гинзбурга-Ландау 240
6.5.1. Уравнение Гинзбурга-Ландау третьей степени 240
6.5.2. Решения в виде формальных рядов Лорана и теорема вычетов 242
6.5.3. Несуществование эллиптических решений 244
6.6. Поиск решений уравнения Гинзбурга-Ландау пятой степени 249
6.6.1. Уравнение Гинзбурга-Ландау пятой степени 249
6.6.2. Построение решений в виде рядов Лорана 251
6.6.3. Ограничения на параметры системы 253
6.6.4. Поиск эллиптического решения 2 6.7. Алгоритм построения эллиптических решений неинтегрируемых систем 260
6.8. Поиск точных многозначных решений с помощью рядов Пьюзё 262
266 Приложение А 272
А.1. Список обозначений и используемых стандартных формул 272
А.2. Свойства эллиптических функций 274
А.З. Процедуры компьютерной алгебры, автоматизирующие поиск эллиптических решений неинтегрируемых систем 275
Список литературы
