Введение
1 Задача Вентцеля для уравнения Лапласа и Гельмгольца 32
1.1 Постановка задачи. Теоремы единственности 33
1.2 Свойства повторных потенциалов 37
1.3 Сведение задач Вентцеля к интегральным уравнениям и их исследование : 42
1.4 Некоторые обобщения 48
2 Квазилинейная двухфазная задача Вентцеля 51
2.1 Постановка задачи. Формулировка теорем существования . 54
2.2 Локальные оценки максимума Александровского типа для решения линейной двухфазной задачи Вентцеля 57
2.3 Разрешимость линейной двухфазной задачи Вентцеля 69
2.4 Гельдеровские оценки 80
2.4.1 Оценки неотрицательных решений двухфазной задачи Вентцеля вблизи пленки 80
2.4.2 Оценка константы Гельдера для решения квазилинейной двухфазной задачи 87
2.4.3 Оценка константы Гельдера с большим показателем для решения линейного уравнения . 91
2.5 Оценка градиента решения квазилинейной двухфазной задачи Вентцеля 94
2.6 Разрешимость квазилинейной двухфазной задачи Вентцеля 102
3 Квазилинейная задача Дирихле в областях с гладкими замкнутыми ребрами произвольной коразмерности 105
3.1 Постановка задачи 108
3.2 Вспомогательные оценки интегральных операторов 111
3.2.1 Оценки в пространствах Ls,r,{a) Ш
3.2.2 Оценки в пространствах jf/s>r,(a) 115
3.3 Оценки решения задач Дирихле и Неймана для уравнения теплопроводности в клине 118
3.3.1 Оценки решения задачи Дирихле 121
3.3.2 Оценки решения задачи Неймана при т > 2 124
3.3.3 Оценки решения задачи Неймана в двугранном угле 132
3.3.4 Задачи в полупространстве 136
3.4 Локальные оценки максимума Александровского типа через весовые нормы правой части 139
3.4.1 Вспомогательные леммы о линейных операторах 139
3.4.2 Условные оценки в весовых пространствах 141
3.4.3 Вывод основной оценки 143
3.4.4 Оценки в анизотропных пространствах 145
3.5 Разрешимость линейной параболической задачи 147
3.6 Гёльдеровские оценки решения квазилинейной задачи 153
3.7 Оценки градиента решения 161
3.8 Оценки решения в окрестности ребра 166
3.9 Доказательство теоремы существования 172
4 Квазилинейная двухфазная задача Вентцеля в трансверсальном случае 175
4.1 Постановка задачи 177
4.2 Вспомогательная задача Дирихле в весовых пространствах 181
4.2.1 Постановка задачи 181
4.2.2 Оценки максимума 183
4.2.3 Гёльдеровские оценки 186
4.2.4 Оценки градиента на границе 188
4.2.5 Оценки градиента вблизи границы 193
4.2.6 Разрешимость линейной и квазилинейной задач Дирихле 197
4.3 Разрешимость линейной эллиптической задачи 199
4.4 Разрешимость квазилинейной эллиптической задачи 208
5 Задача Вентцеля для полностью нелинейных эллиптических уравнений 217
5.1 Постановка задачи 219
5.2 Оценки градиента решения 221
5.3 Оценки вторых производных 233
5.4 Разрешимость нелинейной задачи Вентцеля 243
6 Вырожденная задача Вентцеля для квазилинейных эллиптических уравнений 247
6.1 Постановка задачи 249
6.2 Гельдеровские оценки 251
6.3 Оценки градиента решения 258
6.4 Оценки вторых производных 274
6.5 Разрешимость вырожденной задачи Вентцеля 283
Приложения 285
