Введение
1 Влияние неравномерности сетки вблизи концов отрезка на спектр разностной задачи 25
1.1 Постановка задачи и предварительные сведения 26
1.1.1 Постановка задачи 26
1.1.2 Аппроксимация исходной задачи в случае граничных условий первого рода 27
1.1.3 Аппроксимация исходной задачи в случае граничных условий второго рода 30
1.2 Оценка спектра оператора второй разностной производной 32
1.2.1 Сетка с двумя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями первого рода 33
1.2.2 Сетка с двумя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями второго рода 38
1.2.3 Сетка с тремя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями первого рода 41
1.2.4 Сетка с тремя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями второго рода 48
1.2.5 Квазиравномерные сетки 50
1.3 Численное исследование спектра 51
1.3.1 Численное исследование спектра разностного оператора Л, записанного на сетках щ{а) и («,/3) 51
1.3.2 Численное исследование спектра разностного оператора А, записанного на квазиравномерных сетках 58
1.3.3 Выводы 60
2 Влияние неравномерности сетки вблизи концов отрезка на границу устойчивости разностной схемы 62
2.1 Основные понятия теории устойчивости 63
2.1.1 Сведения о теории устойчивости 63
2.1.2 Разностная схема и ее граница устойчивости 66
2.2 Исследование устойчивости явной схемы 67
2.2.1 Устойчивость явной разностной схемы на сетках щ{сх), u)h{a,j3) и C)h(x) 68
2.2.2 Результаты численного исследования 70
2.3 Исследование устойчивости схемы с весами 73
2.3.1 Оценка сверху спектра задачи AfiAy = —ХАу 73
2.3.2 Результаты численного исследования разностных схем, близких к абсолютно устойчивым 77
2.3.3 Результаты численного исследования разностных схем с переменными весовыми множителями 80
2.3.4 Краткие выводы главы 83
3 Граница устойчивости разностной схемы для уравнения теплопроводности в непрямоугольных областях 85
3.1 Оценка спектра двумерного разностного оператора Лапласа 86
3.1.1 Способы введения сеток, покрывающих непрямоугольные области 86
3.1.2 Свойства разностного оператора Лапласа 91
3.1.3 Тестовый пример 95
3.1.4 Задача на собственные значения для разностного оператора Лапласа в криволинейном треугольнике 97
3.1.5 Задача на собственные значения для разностного оператора Лапласа в криволинейной трапеции 101
3.2 Граница устойчивости для двумерной задачи 104
3.2.1 Разностная схема 104
3.2.2 Численное исследование устойчивости явной разностной схемы 106
3.2.3 Оценки сверху спектра задачи АцАу = —ХАу 112
3.2.4 Численное исследование устойчивости разностной схемы с весами 115
3.2.5 Краткие выводы 116
Литература 118
Список работ автора по теме диссертации 121
