Введение
1 Классические квазиштеккелевы гамильтонианы 18
1.1 Штеккелевы гамильтонианы в форме Бененти 18
1.2 Диагонализация пары квадратичных гамильтонианов 21
1.3 Определение функций, задающих квазиштеккелевы гамильтонианы 24
1.4 Универсальная формула для решения уравнения Гамильтона-Якоби 26
1.5 Классификация. Примеры
1.5.1 Класс 1 31
1.5.2 Класс 2 32
1.5.3 Класс 3 35
1.6 Классические волчки и квазиштеккелевы гамильтонианы 36
1.6.1 Волчок Клебша на е(3) 37
1.6.2 Волчок Ковалевской с гиростатом на е(3) 38
1.6.3 Двухспиновая модель I - Волчок Шоттки -Манакова Haso(4) 41
1.6.4 Двухспиновая модель II - Волчок Стеклова на so(4) 44
1.7 Движение заряженной частицы в электромагнитном поле 45
1.7.1 Представление коммутирующих гамильтонианов через векторный потенциал и потенциал 46
1.7.2 Классификация и примеры 48
1.7.3 Переход к физическим координатам. Примеры 52
1.8 Квазиштеккелевы гамильтонианы с 3-мя степенями свободы 55
1.8.1 Каноническая форма квазиштеккелевых гамильтонианов с тремя степенями свободы 55
1.8.2 Симметричный случай 56
1.8.3 Несимметричный случай з
2 Квантовые квазиштеккелевы гамильтонианы 62
2.1 Диагонализация квантовых квадратичных операторов 62
2.1.1 Пары коммутирующих квадратичных операторов 62
2.1.2 Переход к квазиштеккелевым гамильтонианам 66
2.1.3 Переход к уравнению Шредингера. Примеры 68
2.2 Два новых примера двумерного уравнения Шредингера с магнитным полем 72
2.2.1 Пример 1. Отталкивающий потенциал 74
2.2.2 Пример 2. Нерациональный случай 77
2.2.3 Некоторые свойства функций HeimB и HeunC 79
2.2.4 Обсуждение 81
3 Квантовые волчки как примеры коммутирующих дифференциальных операторов 84
3.1 Введение 84
3.2 Волчки на so(4) so(3) 0 so(3)
3.2.1 Координаты Дарбу и операторное представление 87
3.2.2 Волчок Шоттки-Манакова 90
3.2.3 Волчок Стеклова 91
3.2.4 Волчок М. Адлера-ван Мёрбеке 93
3.2.5 Волчок Соколова 95
3.2.6 Классический предел 96
3.3 Волчки на е(3) 97
3.3.1 Координаты Дарбу и операторные представления 97
3.3.2 Волчок Клебша 100
3.3.3 Волчок Ковалевской 101
3.3.4 Случай Горячева-Чаплыгина 102
3.4 Спектры 102
3.4.1 Матричное представление so(3) 103
3.4.2 Спектр волчка Эйлера на so(3) 104
3.4.3 Матричное представление для волчка Шоттки-Манакова 105
3.5 Тест Пенлеве и свойство факторизуемости (3.2) 107
4 Канонические преобразования Беклунда 109
4.1 "u-v" системы типа нелинейного уравнения Шредингера 110
4.1.1 Преобразования Беклунда и гамильтонианы и — v систем 112
4.1.2 Переход к и — v системам 113
4.1.3 Гамильтониан и преобразования обобщенной модели ЛЛ 114
4.1.4 Возможные обобщения 115
4.2 Гамильтонова теория преобразований Беклунда 116
4.2.1 Канонические преобразования 116
4.2.2 Уравнения типа НШ и цепочки типа Тоды 120
4.2.3 Уравнения типа Буссинеска 122
4.2.4 Уравнения типа КдФ, sinh-Гордон и другие
4.3 Преобразование Беклунда уравнения Цицейки 127
4.4 Решетки преобразований Беклунда
4.4.1 Гамильтонов метод построения решеток 129
4.4.2 Решетки общего типа 130
4.4.3 Гамильтониан и преобразования Миуры для симметричных моделей 131
4.4.4 Уравнения для решетки Тоды 133
4.4.5 Уравнения для решетки Вольтерры 134
4.4.6 Уравнения для решетки Гейзенберга 134
4.4.7 Представление Лакса для решетки Тоды 135
4.4.8 Модель Ландау-Лифшица 136
4.4.9 Решетка ПБ для модели Ландау - Лифшица 136
4.4.10 Представление Хироты для решеток 138
4.4.11 Обсуждение 139
4.5 Трехмерная решетка преобразований Беклунда интегрируемых случаев системы Дэви-Стюартсона 140
4.5.1 Система ДС 141
4.5.2 Преобразования Беклунда 143
4.5.3 Конструкция решетки ПБ системы ДС 145
5 Метод одевания с разделенными переменными 151
5.1 Случай S = дх — ду 153
5.2 Уравнение Эйлера-Дарбу 155
5.3 Возможные схемы решения в общем случае 156
5.4 Двумерные уравнения типа уравнения Шредингера 156
5.5 Случай t = 1. Одевание оператора типа Шредингера 159
5.6 Случай анизотропных масс 162
6 Представление кулоновского газа для рациональных решений уравнений Пенлеве 165
6.1 Введение 165
6.2 Динамика полюсов рациональных решений системы Леви 166
6.2.1 Преобразования Беклунда для рациональных решений системы Леви 167
6.2.2 Степени полиномов. Возможные замыкания 170
6.2.3 Система Тоды 171
6.2.4 Автомодельное решение системы Леви 172
6.3 Представление кулоновского газа и преобразования Беклунда уравнений Пенлеве 173
6.3.1 Уравнение Пенлеве II 176
6.3.2 Уравнение Пенлеве III 177
6.3.3 Уравнение Пенлеве IV 178
6.3.4 Решетка для PIV 180
6.3.5 Уравнение Пенлеве V 181
6.3.6 Уравнение Пенлеве VI 182
7 Примеры других подходов в теории интегрируемых систем 187
7.1 Интегрируемые системы с квадратичной нелинейности в Фурье пространстве 187
7.1.1 Классификация бездисперсионных уравнений 189
7.1.2 Системы с дисперсией 192
7.1.3 Обобщения 194
7.2 Динамика электронных уровней в присутствии примеси и одно из
"gold-fish" уравнений Калоджеро 197
Заключение 203
Литература
