Введение
Глава 1. Асимптотика спектра и квантовых средних вблизи границ спектральных кластеров в случае линейных уравнений 38
1. Общий метод нахождения асимптотических собственных значений вблизи границ спектральных кластеров 38
2. Асимптотика спектра и квантовых средних возмущенного резонансного осциллятора вблизи верхних границ спектральных кластеров 41
2.1. Введение к 2 41
2.2. Квантовое усреднение 42
2.3. Когерентное преобразование 45
2.4. Интегральное представление для асимптотических собственных функций 50
2.5. Многоточечная спектральная задача 57
2.6. ВКБ-приближение. Линии Стокса 59
2.7. Асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии 68
2.8. Асимптотика многочленов Ф(Х) 78
2.9. Сравнение ВКБ-приближения с асимптотикой N(z) 86
2.10. Асимптотика нормы Ф( ) 91
2.11. Итоговая теорема 99
2.12. Формулы для квантовых средних 100
3. Асимптотика спектра атома водорода в магнитном поле вблизи нижних границ спектральных кластеров 105
3.1. Введение к 3 105
3.2. Регуляризация 106
3.3. Квантовое усреднение 107
3.4. Когерентное преобразование 110
3.5. Интегральное представление для асимптотических собственных функций 117
3.6. Многоточечная спектральная задача 122
3.7. ВКБ-приближение. Линии Стокса 123
3.8. Асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии 131
3.9. Асимптотика многочленов Ф(Х). Дискретный метод ВКБ 139
3.10. Асимптотика нормы Ф( ) 151
3.11. Итоговые теоремы. Формулы для квантовых средних 163
2. Асимптотические решения уравнений типа
Хартри с гладкими потенциалами самодействия 172
Квазиклассическая асимптотика спектра вблизи верхних границ спектральных кластеров для оператора типа Хартри 172
1.1. Введение к 1 172
1.2. Квантовое усреднение и когерентное преобразование 173
1.3. Интегральное представление для асимптотических собственных функций 179
1.4. Асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии 180
1.5. Асимптотика многочленов Ф(Х) 197
1.6. Асимптотика нормы Ф( ) 204
1.7. Формулы для квантовых средних. Итоговая теорема 211
2. Квазиклассическая асимптотика спектра вблизи нижних границ спектральных кластеров для оператора типа Хартри 215
2.1. Введение к 2 215
2.2. Квантовое усреднение и когерентное преобразование 215
2.3. Интегральное представление для асимптотических собственных функций 217
2.4. Асимптотические решения вблизи особых точек 218
2.5. Асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии 225
2.6. Вычисление нормы и квантовых средних. Итоговая теорема 229
3. Асимптотика спектра оператора типа Хартри
специального вида вблизи верхних границ спектральных кластеров 231
3.1. Введение к 3 231
3.2. Квантовое усреднение и когерентное преобразование 232
3.3. Интегральное представление для асимптотических собственных функций 233
3.4. Асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи 235
3.5. Формулы для квантовых средних. Итоговая теорема 237
Глава 3. Асимптотические решения уравнений Хартри с сингулярными потенциалами самодействия 241
1. Квазиклассическая асимптотика спектра трехмерного оператора Хартри вблизи верхних границ спектральных кластеров. Асимптотические решения, сосредоточенные вблизи окружности 241
1.1. Введение к 1 241
1.2. Асимптотика собственных функций невозмущенной задачи 242
1.3. Построение асимптотического решения 245
1.4. Решение спектральной задачи на подпространствах T-LQ, %I 251
1.5. Спектральная задача на подпространстве Т-І2-Вещественные решения 255
1.6. Спектральная задача на подпространстве Т-І2-Комплексные решения 261
2. Квазиклассическая асимптотика спектра двумерного оператора Хартри вблизи верхних границ спектральных кластеров 265
2.1. Введение к 2 265
2.2. Построение асимптотического решения 267
2.3. Асимптотика собственных функций вблизи окружности. Вычисление спектральных поправок 270
2.4. Нахождение верхней границы спектрального кластера 278
Глава 4. Асимптотические решения уравнений Хартри, сосредоточенные вблизи маломерных подмногообразий. Теория эйри-полярона 282
1. Модель с логарифмической особенностью 282
1.1. Введение к 1 282
1.2. Уравнения для амплитуды и фазы эйри-полярона .284
1.3. Асимптотическое решение задачи для cos- и sin-амплитуд эйри-полярона 293
1.4. Асимптотика фазы эйри-полярона при — +оо 314
1.5. Оценка остаточных членов. Формулировка основной теоремы 321
1.6. Асимптотические разложения эйри-полярона при — оо 327
1.7. О разрешимости уравнения в вариациях для одномерного полярона. Формула для решения 332
2. Локализация на отрезке 337
2.1. Введение к 2 337
2.2. ВКБ-асимптотика. Уравнения для амплитуды и фазы 339
2.3. Асимптотическое решение задачи для cos- и sin-амплитуд 346
2.4. Асимптотика в окрестности точек ж , х+. Модельное уравнение 353
2.5. Задача для фазы 359
2.6. Правило квантования. Оценка невязки. Формулировка основной теоремы 372
2.7. Задача для главного приближения к фазе 379
2.8. Нахождение главного приближения к фазе 382
2.9. Асимптотические собственные значения. Главное приближение 395
3. Локализация в плоских дисках 402
3.1. Введение к 3 402
3.2. ВКБ-асимптотика. Уравнения для амплитуды и фазы 404
3.3. Асимптотическое решение задачи для cos- и sin-амплитуд 411
3.4. Асимптотика в окрестности точек ж , х+. Модельное уравнение 415
3.5. Задача для фазы 423
3.6. Правило квантования. Оценка невязки. Формулировка основной теоремы 431
3.7. Главное приближение к фазе 433
3.8. Асимптотические собственные значения. Главное приближение 439
Заключение 441
Список литературы
