Введение
1 Математическая модель сингулярной струны 29
1.1 Вывод математической модели сингулярной струны 30
1.2 Простейшие свойства дифференциальной модели для сингулярной струны 35
1.3 Аналоги теорем Штурма и свойство неосцилляции 40
1.4 Анализ математической модели сингулярной струны и функция влияния невырожденной математической модели 47
1.5 Корректность математической модели второго порядка 55
1.6 Оценки функции влияния модели второго порядка с производными по мере и положительные решения дифференциальных неравенств 63
1.7 Осцилляционность спектра математической модели второго порядка с производными по мере 67
Выводы 69
2 Математические модели с разрывными решениями и разнопорядковыми уравнениями 70
2.1 Математическая модель с разрывными решениями 71
2.2 Функция влияния математической модели с разрывными решениями 75
2.3 Математическая модель малых деформаций системы с сильной особенностью 78
2.4 Математическая модель малых деформаций струнно-стерж-невой системы 85
Выводы 95
Граничные задачи с производными по мере при моделировании малых деформаций сложно-сочленённых стержневых систем 97
3.1 Линейная математическая модель малых деформаций стержневой системы 98
3.2 Анализ дифференциальной модели четвертого порядка 105
3.3 Свойство неосцилляции 110
3.4 Простейшие свойства линейных математических моделей четвертого порядка 130
3.5 Функция влияния дифференциальной модели четвертого порядка 135
3.6 Функция влияния математической модели, описывающей малые деформации сингулярной балки 149
3.7 Корректность математической модели четвертого порядка 156
3.8 Осцилляционность спектра дифференциальной модели четвертого порядка с производными по мере в случае отсутствия упругих опор 163
3.9 Осцилляционность спектра дифференциальной модели при наличии упругой подушки 171
Выводы 177
4 Податливость сингулярных математических моделей четвертого порядка 179
4.1 Положительность функции влияния математической модели четвертого порядка 180
4.2 Достаточные условия податливости математической модели сингулярной консоли 183
4.3 Положительность функции влияния сильно сингулярной математической модели 186
4.4 Оценки функции влияния математической модели четвёртого порядка 190
Выводы 199
5 Нелинейные модели с негладкими решениями 201
5.1 О числе решений математической модели второго порядка с «монотонной нелинейностью» 203
5.2 Нелокальные условия существования хотя бы одного знако-определенного решения нелинейной модели второго порядка 207
5.3 Достаточное условие существования второго решения нелинейной модели второго порядка 210
5.4 Нелинейная математическая модель второго порядка с сильной нелинейностью 211
5.5 Дифференциальные модели четвертого порядка со ступенчатыми нелинейностями 212
5.6 Нелинейные модели четвертого порядка с монотонной нелинейностью 218
5.7 О вторых решениях математической модели четвертого порядка с производными по мере 224
5.8 Математическая модель четвертого порядка с сильной нелинейностью 232
Выводы 233
6 Адаптация метода конечных элементов к изучаемым моделям 235
6.1 Метод конечных элементов для математической модели сингулярно нагруженной струны 235
6.1.1 Построение алгоритма 235
6.1.2 Оценка погрешности адаптированного метода конечных элементов для моделей второго порядка 239
6.2 Адаптация метода конечных элементов для математической модели с разрывными решениями 246
6.2.1 Построение алгоритма 246
6.2.2 Оценка погрешности 249
6.3 О методе конечных элементов для математической модели стержневых систем 253
6.3.1 Построение алгоритма 253
6.3.2 Оценка погрешности 256
6.4 Адаптация метода конечных элементов для разнопорядковой математической модели 264
6.4.1 Построение алгоритма 264
6.4.2 Об оценке погрешности 267
Выводы 267
7 Численные эксперименты 269
7.1 Численные эксперименты для математической модели 269
7.2 Численные эксперименты для модели с разрывными решениями281
7.3 Численные эксперименты для модели четвертого порядка 290
7.4 Вычислительные эксперименты для разнопорядковой модели 293
Выводы 298
Заключение 300
Литература
