Введение
Глава 1. Элементы дробного интегро-дифференциального исчисления. Дробная диффузия 40
1.1. Понятие дробной производной 40
Определение Вейля 41
Определение Грюнвальда-Летникова 41
Определение Римана-Лиувилля 42
Примеры производных дробного порядка 43
Дробный Лапласиан 44
1.2. Модель дробной диффузии 48
1.3. Вывод уравнения дробной диффузии 52
Способ Эйлера 52
Распределение Леви 57
Глава 2. Методы численного решения уравнения диффузии с дробной производной по пространству 60
2.1. Постановка задачи 60
2.2. Фундаментальные решения 61
2.3. Метод Фурье 62
2.4. Конечно-разностный метод 65
2.5. Метод сплайн-аппроксимаций 68
2.6. Анализ численных методов 74
Устойчивость явной разностной схемы 74
Стационарная задача. Аппроксимация 78
2.7. Двумерные уравнения дробной диффузии и метод быстрого преобразования Фурье для их численного решения 85
Глава 3. Методы численного решения уравнения диффузии с дробной производной по времени 88
3.1. Квазиволновое представление уравнения диффузии с дробной производной по времени 89
3.2. Фундаментальные решения 91
Задача Коши (Cauchy Problem) 94
Краевая задача (Signalling Problem) 100
3.3. Постановка вычислительной задачи 101
3.4. Методы, основанные на определении Римана-Лиувилля 103
Начальное условие на первом временном слое 104
Вычислительные особенности 106
Квазиволновое представление 110
3.5. Методы, основанные на определении Капуто 115
Начальное условие на первом временном слое 115
Вычислительные особенности 116
Квазиволновое представление 119
Глава 4. Численное моделирование стохастической адвекции радионуклидов в сильно неоднородных средах 126
4.1. Генерация случайных соленоидальных полей скорости с заданной корреляцией в случае двух пространственных измерений 128
Результаты работы алгоритма 130
4.2. Алгоритм численного решения двумерного уравнения конвективного переноса 134
Постановка и дискретизация задачи 134
Вычисление новых значений консервативных переменных 135
Коррекция консервативных переменных 136
Вычисление новых значений потоковых переменных 137
Тестирование алгоритма 141
4.3. Задача о стохастической адвекции примеси 145
Случайные поля скоростей 147
Распространение примеси с течением времени 153
«Тяжелые хвосты» 163
Заключение 170
Список литературы
