Введение
1 Обзор известных результатов 22
1.1 Формулировка вариационного неравенства 22
1.2 Функциональные пространства 23
1.3 Примеры вариационных неравенств 26
1.4 Теоремы существования, единственности и гладкости . 30
1.5 Задача Стефана 32
1.6 Монотонные операторы и выпуклые функции 35
1.7 Аппроксимации вариационных неравенств 38
1.7.1 Аппроксимация задачи о препятствии 39
1.7.2 Аппроксимация задачи Синьорини 40
1.7.3 Аппроксимация контактной задачи 41
1.7.4 Алгебраические формулировки сеточных вариационных неравенств 42
1.7.5 Аппроксимация задачи Стефана 45
1.8 Некоторые итерационные методы 48
1.8.1 Метод верхней релаксации 49
1.8.2 Методы расщепления 49
1.9 Задача с седловым оператором для вариационных неравенств 51
2 Смешанные гибридные методы для эллиптических вариационных неравенств 55
2.1 Смешанная гибридная схема для задачи Синьорини 55
2.1.1 Постановка задачи . 56
2.1.2 Смешанная гибридная постановка 57
2.1.3 Аппроксимация 62
2.1.4 Итерационный метод 65
2.1.5 Численные результаты 69
2.1.6 Метод решения конечноэлементной схемы для задачи Синьорини 73
2.1.7 Численные результаты 77
2.2 Задача с ограничениями во внутренних точках области . 79
2.2.1 Смешанная гибридная постановка 79
2.2.2 Аппроксимация 81
2.2.3 Численные результаты 84
3 Метод декомпозиции области для задачи о препятствии 85
3.1 Постановка задачи 85
3.2 Эквивалентная задача с суммой двух максимально монотонных операторов 86
3.2.1 Аппроксимация 87
3.2.2 Метод расщепления 89
3.3 Метод декомпозиции области с использованием функции Лагранжа 93
3.3.1 Аппроксимация 95
3.3.2 Метод расщепления 99
3.3.3 Другие варианты выбора предобусловливателя . 102
3.4 Численные результаты 103
4 Решение задачи Стефана с предписанной конвекцией 114
4.1 Смешанная гибридная схема 114
4.1.1 Математическая модель 114
4.1.2 Смешанная гибридная формулировка задачи . 115
4.1.3 Аппроксимация 119
4.1.4 Численные результаты 121
4.2 Декомпозиция области в задаче Стефана 124
4.2.1 Схемы предиктор-корректор 124
4.2.2 Численные результаты 128
