Введение
ГЛАВА I. Бифуркации, сопровождающие монотонную потерю устойчивости равновесия косимметричной динамической системы 28
1 1. Введение 28
1.2. Метод Ляпунова- Шмидта для уравнения с коеимметрией 30
1.2.1. Постановка задачи и уравнения разветвления 30
1.2.2. Случай общего положения 35
1.2.3. Меюд Ляпунова — Шмидіа в случае двумерного ядра 36
1.2.4. Бифуркации общего положения в системах с коеимметрией 39
1.2.5. Случай полного вырождения линейной части уравнения разветвления 43
1.3. Метод центрального многообразия. Случай двукратного нулевого собственного значения 46
1.3.1. Случай двумерной жордановой клетки. Бифуркация усюй-чивых и неустойчивых дуг 48
1.3.2. Случай общего положения: нет локальных бифуркаций 49
1.3.3. Рождение неустойчивой дуги 50
1.3.4. Рождение пары дуг — устойчивой и неустойчивой 51
1.3.5. Случай двумерного ядра: еедловая бифуркация и бифуркация рождения цикла равновесий из «воздуха» 53
1.3.6. Случай двумерного ядра: бифуркация семейства равновесий, сопровождаемая рождением малой неустойчивой дуги 55
1.3.7. Случай двумерного ядра: ответвление малого цикла равновесий от угловой точки семейства равновесий 57
1.4. Меюд центрального многообразия. Случай трехкратного нулевого собсі венного значения 62
1.4.1. Жорданова клетка. Рождение устойчивой дуги, образованной равновесиями разного типа 62
1.4.2. Двумерное ядро. Бифуркации семейств равновесий, сопровождаемые внутренними бифуркациями 67
1.5. Приложение. Распрямление косиммеїричного векторного поля на
плоскости 81
ГЛАВА II. Бифуркация ответвления цикла в п-пара-метрическом семействе динамических систем с косимметрией 84
2.1. Введение 84
2.2. Постановка задачи 84
2.3. Фазовые портреіьі и перестройка 91
2 3.1. Главные семейства 91
2 3 2. Развитие неустойчивой дуги без ответвления цикла 94
2.3.3. Ответвление предельного цикла от равновесия, раеляющего устойчивую и неустойчивые дуги 9G
2.3.4. Ответвление предельного цикла о г равновесия, разделяющего две устойчивые дуги 101
2.4. Заключение , 106
2.5. Приложение А: Косимметрическая версия теоремы о неявной фупкции
Приложение В: Сводка результатов 113
ГЛАВА III. Ответвление предельного цикла от под многообразия равновесий в системе с мультикосимметрией 114
3.1. Метод Ляпунова — Шмидта 114
3.1.1. Постановка задачи. Основные определения и гипотезы 114
3.1.2. Линеаризованное уравнение 117
3.1.3. Уравнение разветвления циклов 119
3.2. Метод центрального многообразия 131
3 2.1. Постановка задачи 131
3.2.2. Бифуркация областей устойчивости 135
3.2.3. Модельные семейства 138
3.2.4. Ответвление предельного цикла без бифуркации областей уеюйчивоети 140
3.2.5. Огвеївление предельного цикла в случае бифуркации обла-сіей устойчивости 141
3.2.6. Случай общего положения: предельный цикл не ответвляег-
ся, и области усюйчиности не бифурцируют 143
ГЛАВА IV. О бифуркациях равновесий при разруше нии косимметрии динамической системы 145
4.1. Постановка задачи и уравнения разветвления 145
4.2. Случай общею положения 151
4.3. Метод Ляпунова — Шмидча в случае двумерного ядра 155
ГЛАВА V. Об устойчивости граничных равновесий в системах с косимметрией 165
5.1. Обращение теоремы о неявной функции для косиммеїрических систем 167
5 2. Критические случаи устойчивости 170
5.2.1. Критический случай трехкратного нулевого собсгвенного значения
5.2.2. Критический случай двукратного нулевого и просгой пары чисго мнимых собственных значений
5.2.3. Критический случай нулевого и нары чисю мнимых собственных значений (все они просты) 174
5.2.4. Уравнение па центральном многообразии, влияние косимметрии на его ряд тейлора
5.2.5. Критерии устойчивости и модельные системы 178
5,2.6. Устойчивость 180
5 2.7. Неустойчивость 184
ГЛАВА VI Устойчивость стационарного вращения правильного вихревого многоугольника 186
6.1. Введение 18С
6.2. Стационарные движения динамических систем с симметрией 192
6.3. Стационарное вращение сисіемьі точечных вихрей 198
6.3.1, Группа симметрии 201
6.3.2. Усюйчивость правильного вихревого n-уголышка 204
6 3 3. Обоснование законности линеаризации для произвольною 205
п>2,п^7
6.3.4 Устойчивость вихревого семиугольника 209
6.4. Заключение 214
6.5. Дополнение А: Циркулянтные и косо-циркулянтные матрицы 216
6.6. Дополнение В: Парадоксы и недоразумения 218
6.7. Дополнение С: Разложение относительного гамильтониана в окрестности стационарного режима 221
6.8. Дополнение D: Координатная форма записи функции Р, заданной выражением (3.48) 232
ГЛАВА VII. О нелинейной устойчивости правильных вихревых многоугольников и многогран ников на сфере 237
7.1. Введение 237
7.2. Уравнения движения сисіемьі точечных вихрей на сфере 241
7.3. Усюйчивость правильного вихревого п-уголышка 242
7 4 Устойчивость правильных вихревых многогранников 248
7.5. Приложение: Полиномы Рп и Qn Таблицы 2 250
Заключение 270
Литература
