Введение
Глава 1. Базовые теоретические сведения 11
1.1 Круговая ограниченная задача трех тел 11
1.1.1 Уравнения движения и интеграл Якоби 11
1.1.2 Точки либрации и линейная динамика вокруг них 13
1.1.3 Орбиты вблизи коллинеарных точек либрации 17
1.1.4 Метод Линдштедта–Пуанкаре построения периодических орбит вокруг точек либрации 25
1.1.5 Техника дифференциальной коррекции гало-орбит 28
1.1.6 Метод Коулмена построения квазигало-орбит 28
1.1.7 Устойчивые и неустойчивые инвариантные многообразия, связанные с периодическими орбитами вокруг точек либрации 31
1.1.8 Миссии к точкам либрации и поддержание орбит 32
1.2 Численные методы общего назначения 36
1.2.1 Метод Левенберга–Марквардта и метод доверительных областей для решения систем нелинейных уравнений 36
1.2.2 Метод параллельной пристрелки 38
1.2.3 Метод последовательного квадратичного программирования 41
1.3 Адаптация траектории на случай эфемеридной модели движения Солнечной системы 44
Глава 2. Анализ спиральных траекторий перелета к лунной точке либрации 1 с использованием резонансных сближений 47
2.1 Введение 47
2.2 Постановка задачи 50
2.3 Исходные данные 52
2.4 Теоретические сведения з
2.4.1 Вариационные уравнения движения 54
2.4.2 Учитываемые возмущающие силы 55
2.4.3 Оптимальная по быстродействию задача перелета с малой тягой 57
2.4.4 Резонансные сближения с возмущающим телом 59
2.5 Алгоритм построения траектории перелета к лунной точке либрации 1 с использованием резонансных сближений 63
2.5.1 Первый этап перелета 63
2.5.2 Третий этап перелета 64
2.5.3 Второй этап перелета 68
2.5.4 Переход от импульсного приближения к модели с активными участками 70
2.6 Результаты параметрического анализа 72
2.6.1 Анализ перелетов на первом этапе 72
2.6.2 Анализ перелетов на третьем этапе 75
2.6.3 Анализ целых перелетов
2.7 Спиральные траектории перелета без использования резонансных сближений с Луной 88
2.8 О деградации солнечных панелей и оптимальных по затрату топлива траекториях 88
Глава 3. Варианты дальнейших перелетов с орбит вокруг лунной точки либрации 1 91
3.1 Введение 91
3.2 Соединения между орбитами вокруг разных точек либрации
3.2.1 Перелеты между гало-орбитами вокруг 1 и 2 93
3.2.2 Перелеты между системами трех тел 101
3.3 Перелет на окололунные орбиты 105
3.3.1 Оскулирующие окололунные орбиты из неустойчивого многообразия гало-орбит 105
3.3.2 Стабилизация окололунных орбит малой тягой 112 Система (1.3) имеет пять положений равновесия (рисунок 1.2), все они находятся в плоскости Сху, обычно обозначаются символами Li, L2, L3, L4 и Ь$ и называются точками либрации. Точки L\, L2 и Ь% расположены на оси Сх и называются коллинеарными точками либрации, а точки L и Ь$ располагаются в вершинах равносторонних треугольников с общим основанием т\–гп2 и называются треугольными точками либрации. Линеаризуя систему уравнений (1.3) вокруг положений равновесия, можно доказать, что коллинеарные точки либрации Li, L2, L3 неустойчивы по Ляпунову при любых /І Є (0,1), т.е. в любой системе трех тел. Что касается треугольных точек либрации L и L5, то в системах Земля-Луна и Солнце-Земля они устойчивы по Ляпунову для почти всех начальных условий (в смысле Лебега), как следует из исследований [60].
Точки либрации i, 2, 3, 4 и В дальнейшем наше внимание будет направлено только на точки \ и 2 систем Земля-Луна и Солнце-Земля. Координаты точек \ и 2 зависят от рассматриваемой системы трех тел. В системе Земля-Луна координаты равны ы = 0.8369147 и i2 = 1.1556825, соответственно, а в системе Солнце-Земля они равны LI = 0.9899871 и 2 = 1.0100740, соответственно. В случае же произвольной системы трех тел координаты коллинеарных точек либрации рассчитываются численно как корни некоторых полиномов [60], но эти соотношения в диссертации не понадобятся.
Теперь перейдем к динамике вокруг коллинеарных точек либрации в линейном приближении. Для этого перепишем уравнения (1.3) в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка X == f(x) (1.4) с нелинейной правой частью f (х) = [, , , Ых + 2, Ыу — 2, Uz] и фазовым вектором переменных х = [, , , , , ]. Рассмотрим произвольную колли-неарную точку либрации ; ей соответствует некий фазовый вектор х = [L, 0, 0, 0, 0, 0]. Возьмем отклонение х. = х — х от точки либрации , тогда линейная динамика вокруг описывается уравнениями (1.5) Здесь Отхп обозначает нулевую матрицу размера х , а Inxn обозначает единичную матрицу размера х, UYY - матрица вторых частных производных функции U по координатам , , и Г зхз – матрица векторного произведения на угловую скорость вращающейся системы ш = [0, 0, 1]:
Из полученных выражений следует, что коллинеарные точки либрации имеют тип седло х центр х центр. Характеристическое число і 0 определяет характерное время L = j удаления от точки либрации . В системе Солнце-Земля получаем ы = 22.9370 дней и щ = 23.3833 дней, а в системе Земля-Луна ц = 1.4830 дней и и = 2.0144 дней. Далее примем обозначения i = —2 = , и постоянные интегрирования a, /З, 7, 7, ф\ и 02 определяются начальными условиями. Выражения (1.6)-(1.8) позволяют выделить типы движения вблизи коллинеарных точек либрации в линейном приближении, см. Таблицу 1.1.
Таблица 1.1 Классификация типов движения вблизи коллинеарных точек либрации в линейной приближении плоские периодические орбиты а 0, /3 = 7 = 7 = 0 вертикальные периодические орбиты /Зт 0,а = 7 = 7 = 0 квазипериодические орбиты а 0, /3 0, 7 = 7 = 0 асимптотические траектории 7 Ф 0, 7 = 0 или 7 7 0, 7 = 0 транзитные траектории 7 7 0 нетранзитные траектории 7 7 0
Плоские периодические орбиты представляют собой эллипсы в плоскости Сху с центром в точке либрации. Вертикальные периодические орбиты определяют периодическое движение вдоль прямой, параллельной оси Cz. В более общем случае при 7 = 7 = 0 траектории в фазовом пространстве лежат на двумерных торах, заполненных квазипериодическими орбитами. С каждой орбитой на торе связаны асимптотические траектории, которые либо «наматываются» (т" ф 0, 7 = 0) на орбиту, либо «разматываются» с нее (7 ф 0, 7 = 0). Наконец, транзитные траектории - те, у которых координата дх меняет знак, а нетранзитные траектории - те, у которых не меняется знак дх (траектория «отражается» от точки либрации).
В дальнейшем мы не будем касаться линейной динамики вокруг точек либрации, но сделаем одно важное замечание: все указанные выше типы движения присутствуют и в нелинейной модели CR3BP, определяемой уравнениями (1.3). Этот факт прямо следует из теоремы Ляпунова о центре [61], а также из более общих результатов Ю. Мозера [62] о сохранении четырехпараметриче-ского семейства траекторий в нелинейной системе. Более того, в модели CR3BP обнаруживаются многие другие периодические и квазипериодические орбиты, аналогов которых нет в линейной динамике. Подробнее о (квази)периодических орбитах в CR3BP речь пойдет в следующем параграфе.
Перейдем теперь к описанию наиболее часто встречающихся в приложениях периодических и квазипериодических орбит вблизи коллинеарных точек либрации, методам построения таких орбит и описанию общей структуры динамики в окрестности коллинеарных точек либрации.
На сегодня известны десятки семейств периодических орбит вокруг точек либрации, их классификацию можно найти в работе [63]. Но, пожалуй, самыми известными семействами периодических орбит вокруг коллинеарных точек либрации являются плоские (горизонтальные) орбиты Ляпунова (рисунки 1.3–1.4), вертикальные орбиты Ляпунова (рисунки 1.5–1.6), северные гало-орбиты (рисунки 1.7–1.8) и южные гало-орбиты (рисунки 1.9–1.10). Указанные семейства орбит являются однопараметрическими: плоские орбиты Ляпунова параметризуются амплитудами или движения по оси или , соответственно, а вертикальные орбиты Ляпунова и гало-орбиты – амплитудой движения по оси . Отметим, что семейство гало-обрит связано с семейством орбит Ляпунова: при увеличении амплитуды плоских орбит Ляпунова сказываются нелинейные эффекты задачи трех тел, в какой-то момент происходит бифуркация, и от семейства плоских орбит Ляпунова отщепляется семейство гало-орбит. Этот вид периодических орбит не существует в линейной динамике, а проявляется лишь начиная с приближения третьего порядка [64]. Подробную картину бифуркационных переходов можно найти в упоминавшейся работе [63].
На практике также встречаются квазипериодические орбиты – ограниченные и незамкнутые траектории. Присутствие таких траекторий является прямым следствием существования четырехмерного центрального подпространства, связанного с точкой либрации. Это четырехмерное подпространство состоит из целых семейств двумерных торов, всюду плотно заполненных квазипериодическими орбитами. Это значит, что если выбрать одно из таких семейств и зафиксировать уровень интеграла Якоби, то получится один двумерный тор, состоящий из квазипериодических орбит.
Глава 4. Смена номинальной орбиты в окрестности коллинеарной точки либрации в случае нештатной задержки коррекции 118
4.1 Введение 118
4.2 Постановка оптимизационной задачи для гало-орбит 120
4.3 Результаты перелетов на гало-орбиты
4.3.1 Отклонение вдоль неустойчивого многообразия 125
4.3.2 Серия испытаний Монте–Карло
4.4 Постановка оптимизационной задачи для квазигало-орбит 139
4.5 Результаты перелетов на квазигало-орбиты 141
4.6 Несколько слов о задаче с орбитами Лиссажу 146
4.7 Адаптация траекторий перелета к эфемеридной модели движения тел Солнечной системы 146
Заключение 153
Список сокращений и условных обозначений 155
Литература
