Введение
Глава 1. Мозаично-скелетониый метод 20
1.1 Описание и развитие мозаично-скелетонного метода . 20
1.1.1 Описание метода 20
1.1.2 Методы дожимания (переаппроксимации) 24
1.1.3 Численные эксперименты 25
1.2 Параллельная версия метода 26
1.2.1 Особенности кластерных станций 27
1.2.2 Модель параллелизации и распределение нагрузки. 28
1.3 Выводы 29
Глава 2. Метод трехмерной крестовой аппроксимации 31
2.1 Введение 31
2.2 Теорема существования 35
2.3 Трехмерный крестовый метод 38
2.3.1 Как нельзя построить этот алгоритм 38
2.3.2 Как можно построить этот алгоритм 40
2.3.3 Как добиться почти линейной сложности 40
2.3.4 Как сделать алгоритм эффективным 45
2.3.5 Сложность полученного метода 51
2.4 Важные детали 54
2.4.1 Как найти подматрицу максимального объема 54
2.4.2 Как найти наибольший элемент в срезке 57
2.4.3 Как добавить векторы в ортогональный набор 60
2.4.4 Как проверять точность аппроксимации 63
2.4.5 Какова точность «нулевого приближения» . 64
2.5 Модельные численные эксперименты 66
2.6 Асимптотика предложенного метода 67
2.6.1 Теоретические оценки 67
2.6.2 Практические значения ранга 72
2.6.3 Время работы алгоритма 73
2.7 Выводы 83
Глава 3. Приложения к численному решению уравнений 84
3.1 Применение мозаично-скелетонного метода к задаче Дирихле для уравнения Гельмгольца 84
3.1.1 Некоторые факты из теории потенциала 84
3.1.2 Интегральное уравнение и дискретизация 86
3.1.3 Численные эксперименты 89
3.2 Применение мозаично-скелетонного метода к задаче гидроакустики 92
3.2.1 Постановка задачи 92
3.2.2 Метод замкнутых дискретных вихревых рамок 95
3.2.3 Вычисление элементов матриц 96
3.2.4 Численные эксперименты 97
3.3 Применение тензорных аппроксимаций к решению простейшего интегрального уравнения 98
3.3.1 Постановка задачи 98
3.3.2 Дискретизация задачи 98
3.3.3 Сжатие матрицы 99
3.3.4 Структурированные векторы 100
3.3.5 Предобусловливание тензорных матриц 101
3.3.6 Численные результаты 105
3.4 Выводы 106
Глава 4. Специфика матриц в одной задаче электродинамики 108
4.1 Постановка задачи 108
4.1.1 Физическая постановка 108
4.1.2 Интегральное уравнение 110
4.2 Метод дискретизации 112
4.3 Специфика полученной матрицы 113
4.4 Параллельный алгоритм 115
4.5 Численные эксперименты 119
4.6 Пример решения обратной задачи 128
4.6.1 Приближение Борна 128
4.6.2 Горизонтальное зондирование 130
4.6.3 Двумерное зондирование 131
4.7 Применение трилинейной крестовой аппроксимации для сжатия данных 131
4.8 Выводы 134
Заключение 135
Литература 137
