Введение
Глава 1. Введение 1
1.1 Пространства де Бранжа 3
1.1.1 Пространство Харди 3
1.1.2 Определение пространств де Бранжа. Элементарные свойства. Меры Кларка 4
1.1.3 Эквивалентные определения пространств де Бранжа. Пространство дискретных преобразований Гильберта ЩТ,(і) 7
1.1.4 Упорядоченность подпространств де Бранжа. Канонические системы 8
1.1.5 Пространства, наделенные базисом Рисса из воспроизводящих ядер. Аксиоматический подход 10
1.2 Малые пространства де Бранжа 12
1.2.1 Меры Карлесона 12
1.2.2 Базисы Рисса из воспроизводящих ядер
1.3 Свойства биортогональных систем 19
1.4 Наследственная полнота систем из воспроизводящих ядер
1.4.1 Наследственная полнота в пространствах де Бранжа 22
1.4.2 Дефекты смешанных систем 24
1.4.3 Наследственная полнота для систем из экспонент
1.5 Проблема Карлсона-Сандберга 26
1.6 Суммируемость неклассических рядов Фурье 27
1.7 Локализация нулей преобразования Гильберта
1.7.1 Аттракторы 32
1.7.2 Локализация в пространствах де Бранжа и приложения к каноническим системам 1.8 Подпространства С00(а,Ь), инвариантные относительно дифференцирования 36
1.9 Пространства фоковского типа 1.9.1 Базисы Рисса из воспроизводящих ядер 39
1.9.2 Ряды Габора. Классическое пространство Фока 1.10 Бесселевы последовательности в пространствах де Бранжа с равномерной верхней плотностью 42
1.11 Дополняемость систем из воспроизводящих ядер 44
Глава 2. Малые пространства де Бранжа 46
2.1 Доказательство теоремы
2.2 46
2.2 Частные случаи теоремы
2.2, последовательности Бесселя 49
2.3 Обратимость дискретных преобразований Гильберта 51
2.3.1 Доказательство теоремы
2.7 2.3.2 Локализация точек из Л в случае лакунарной последовательности Т 53
2.3.3 Геометрические Критерии обраТИМОСТИ І (Т;/х):(Л,г ;) ПРИ
условии лакунарности Т 58
2.3.4 Доказательство необходимости условий теоремы 1.2.9 60
2.3.5 Доказательство достаточности условий теоремы 1.2.9 65
Глава 3. Системы, биортогональные к системам из воспроизводящих ядер
3.1 Доказательства теорем 1.3.3 и 1.3.4 67
3.2 Размер ортогонального дополнения к биортогональной системе 73
Глава 4. Наследственная полнота систем из воспроизводящих ядер 79
4.1 План доказательства теоремы 1.4.2 79
4.1.1 Сведение к интерполяционной проблеме 79
4.1.2 План доказательства 82
4.2 Достаточность условий (і) и (И) теоремы 1.4.2 84
4.2.1 (і)= свойство наследственной полноты 85
4.2.2 (іі)= свойство наследственной полноты 86
4.3 Примеры базисов Маркушевича, не являющихся сильными: случай I 88
4.3.1 Доказательство утверждения 4.1.3 88
4.3.2 (1)= Н(Е) не обладает свойством наследственной полноты 90
4.4 Случаи II, III и IV: построение общих нулей 90
4.4.1 Случай (II) 90
4.4.2 Случай (III) 92
4.4.3 Случай (IV) 4.5 Доказательство утверждения 4.1.4 97
4.6 Базисы Маркушевича с бесконечномерным дефектом 100
4.7 Наследственная полнота для систем из экспонент
4.7.1 Свойства функций S\ и 5 2 для пространств Пэли-ВинераЮб
4.7.2 Полнота с точностью до одномерного дефекта 108
4.7.3 Доказательство теоремы 1.4.6 110
Глава 5. Проблема Карлсона-Сандберга 114
Глава 6. Суммируемость неклассических рядов Фурье 121
6.1 Универсальный метод суммирования 121
6.1.1 Матрица, порождающая метод суммирования 122
6.1.2 Доказательство леммы 6.1.1 126
6.2 Наследственная полнота системы 8(A) 129
Глава 7. Локализация нулей преобразования Гильберта 131
7.1 Эквивалентные формы локализации 131
7.2 Локализация и полнота полиномов
7.2.1 Полнота полиномов = свойство сильной локализации 135
7.2.2 Свойство сильной локализации = полнота полиномов 137
7.2.3 Сильная локализация для "хороших" мер 138
7.2.4 Доказательство теоремы 7.2.3 140
7.2.5 Аппроксимация полиномами на дискретных подмножествах К; ошибка Гамбургера 1 7.3 Структура цепочек из подпространств де Бранжа при условии локализации 142
7.4 Упорядоченность множеств нулей преобразования Копій
7.4.1 Первое доказательство теоремы 1.7.8 147
7.4.2 Второе доказательство теоремы 1.7.8 149
7.5 Описание пространств с локализацией типа 2 152
7.5.1 Достаточность условий теоремы 1.7.10 152
7.5.2 Необходимость условий теоремы 1.7.10 154
7.5.3 Локализация типа N 156
Глава 8. Подпространства С(а, Ь), инвариантные относительно дифференцирования 158
8.1 Доказательство теоремы
8.1 158
8.1.1 Проблема синтеза в гильбертовом пространстве 159
8.1.2 Сведение к задаче в гильбертовом пространстве
8.2 Доказательство утверждения 8.1.2 162
8.3 Доказательство теоремы 1.8.2 165
8.4 Подпространства с некомпактным резидуальным интервалом 169
Глава 9. Пространства фоковского типа
9.1 Полнота биортогональной системы 171
9.2 Пространства Фока, совпадающие с пространствами де Бранжа 175
Глава 10. Бесселевы последовательности в пространствах де Бранжа с равномерной верхней плотностью 180
Глава 11. Дополняемость систем из экспонент. Заключительные замечания 187
Литература
