Введение
1 Блочно-малоранговые матрицы в задачах моделирования 14
1.1 Обзор применения блочно-малоранговых методов в моделировании 14
1.1.1 Задачи моделирования, приводящие к системам с блочно-малоранговыми матрицами 15
1.2 Иерархические блочно-малоранговые матрицы
1.2.1 Мозаично-скелетонные (H ) матрицы 17
1.2.2 Блочно-малоранговые матрицы со вложенными базисами 19
1.3 Выводы по главе 21
2 Метод компрессиии исключения 22
2.1 CE алгоритм для симметричной положительно определенной матрицы 22
2.1.1 Исключение 1-й блочной строки 23
1 2.1.2 Сжатие и исключение i-й блочной строки 24
2.1.3 Полный проход алгоритма для одного уровня 28
2.1.4 Многоуровневый алгоритм 29
2.1.5 Псевдокод алгоритма 31
2.2 Оценка сложности CE алгоритма 32
2.2.1 Сложность CE алгоритма через блочный шаблон разреженности матрицы A 32
2.2.2 Оценка сложности алгоритма CE на основе анализа графов 37
2.3 Выводы по главе 41
3 Методы разреженной факторизации малопараметрических матриц 43
3.1 Метод построения расширенной разреженной матрицы 43
3.1.1 Обозначения и базовые понятия 44
3.1.2 Основная идея 46
3.1.3 Свойства SE матрицы 49
3.1.4 Методы решения основанные на SE форме 50
3.2 Не-расширенная разреженная факторизация H2 матрицы 53
3.2.1 Основная идея 53
3.2.2 Разреженность матрицы S 60
3.2.3 Построение факторов разложения из параметров H2 матрицы 62
3.3 Выводы по главе 63
4 Программный комплекс для факторизации и решения систем с блочно-малоранговыми матрицами 64
4.1 Метод компрессии и исключения 64
4.1.1 Интерфейс программного кода 65
4.1.2 Конечно-разностная дискретизация уравнения диффузии 66
4.1.3 Конечно-элементная дискретизация уравнения Пуассона и уравнения упругой деформации 71
4.1.4 Cравнение методов решения разреженных систем 76
4.2 Разреженная факторизация блочно-малоранговых матриц 78
4.2.1 Расширенная разреженная факторизация 78
4.2.2 Не-расширенная разреженная факторизация 84
4.3 Выводы по главе 93
Приложение для задачи регрессии на основе гауссовских процессов 94
5.1 Постановка задачи 94
5.2 Простой одномерный пример 95
5.3 Двумерная задача 101
5.4 Трехмерная задача 107
5.5 Выводы по главе 112
Заключение 112
Литература
