Введение
1 Конечномерные редукции в бифуркационном анализе вариационных краевых задач (для фредгольмовых уравнений) 15
1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях 15
1.2 Бифуркации решений фредгольмовых уравнений с параметрами 19
1.3 Общая схема конечномерных редукций 21
1.4 Операторная схема Ляпунова - Шмидта (локальная) 22
1.5 Приближенное вычисление ключевой функции 24
1.6 Редукция Ляпунова-Шмидта как обобщенная ритцевская аппроксимация 26
1.7 Нелокальная вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта 27
1.8 Редукция Морса-Ботта 30
1.9 Топологическое сравнение редуцирующих схем 33
1.10 Конечномерные редукции и упрощение задач 35
1.10.1 Стационарные осесимметричные течения в цилиндрическом гидроциклоне 37
2 Приближенные методы в нелокальном анализе вариационных задач на основе конечномерной редукции 42
2.1 Трансверсальность семейств функционалов своим особенностям 43
2.1.1 Функционал в окрестности вырожденной критической точки 46
2.1.2 Трансверсальность особенностям 48
2.2 Построение приближенной ключевой функции методом Галёркина 49
2.2.1 Уравнение без параметра 52
2.2.2 Уравнение с параметром 55
2.3 Метод Галёркина в реализации схемы Ляпунова-Шмидта. Основной вычислительный алгоритм 57
2.3.1 Схема вычислительного алгоритма 59
Нелокальный анализ некоторых вариационных задач на основе конечномерной редукции 61
3.1 Фазовые переходы в кристаллах. Сведение к уравнению колебаний маятника (редукция Дзялошинского) 61
3.2 Схема Ляпунова - Шмидта для уравнений Дуффинга и колебания маятника 64
3.3 Подходы к оценке результатов 66
3.4 Результаты вычислений 70
3.4.1 Уравнение Дуффинга 71
3.4.2 Уравнение колебаний маятника 75
3.4.3 Краткая оценка результатов 77
3.4.4 Схема Ляпунова-Шмидта и приближение решений 79
3.5 Задача о периодическом решении для неоднородного уравнения Дуффинга 81
Приложение (программные коды Maple) 84
Получение неравенств при рассмотрении трансверсальности 84
Реализация основного алгоритма на базе схемы Ляпунова-Шмидта 87
Литература 92
