Введение
Основные теоремы о локально явных уравнениях 17
1.1 Основные свойства локально явных уравнений 19
1.1.1 Критерий локальной явности . 19
1.1.2 Утверждение о единственности 19
1.1.3 О записи локально явного уравнения без o(dt) для класса сильных решений 20
1.1.4 Утверждение о продолжении решения до ыепродолжимого 20
1.1.5 Утверждение о глобальной разрешимости . 22
1.2 Уравнение реле 23
1.2.1 Феноменологическое описание реле с гистерезисом 23
1.2.2 Модель реле в виде локально явного уравнения 23
1.2.3 Теорема существования и единственности для уравнения реле 24
1.2.4 О характере локальной зависимости решения от входа 24
1.2.5 Монотонность по входам 25
1.2.6 Монотонность по пороговым значениям . 25
1.2.7 Непрерывная зависимость выхода от входа . 26
1.2.8 Определение метрики в пространстве функций 27
1.2.9 О близости выходов в метрике Хаусдорфа . 29
1.2.10 Приближенная модель реле в виде дифференциального уравнения 29
1.3 Обобщенное реле 30
1.3.1 Математическая модель обобщенного реле . 30
1.3.2 Существование и единственность решения . 31
4 Оператор упора 32
1.4.1 Феноменологическое описание упора 32
1.4.2 Математическая модель упора 33
1.4.3 Теорема существования и единственности . 34
5 Оператор люфта 36
1.5.1 Феноменологическое описание люфта 36
1.5.2 Математическая модель люфта 36
1.5.3 Теорема существования и единственности . 37
1.5.4 Связь операторов упора и люфта 38
1.5.5 Условие Липшица относительно входной функции 39
1.5.6 Условие Липшица относительно входной функции для оператора упора 40
1.5.7 Утверждение об эквивалентности моделей . 41
6 М-переключатель 41
1.6.1 Описание и математическая модель 41
1.6.2 Реле как М-переключатель 43
1.6.3 Условия локальной явности 44
1.6.4 Теорема о глобальной разрешимости 46
7 Условия единственности решения задачи Коши 47
1.7.1 Пример отсутствия единственности для не сильных решений уравнения обобщенного реле 47
1.7.2 Теорема единственности для уравнения обобщенного реле 48
1.7.3 Теорема единственности для М-переключателя 49
1.7.4 Обобщенная теорема ван Кампена 49
1.7.5 Теорема единственности для локально явных уравнений 50
1.7.6 Теорема единственности для уравнений упора и люфта 51
1.8 Альтернативные модели оператора упора . 52
1.8.1 Модель упора для кусочно монотонных входов 52
1.8.2 Замечание об эквивалентности для уравнений с нелинейными дифференциалами 53
1.8.3 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для Ц > 0 53
1.8.4 Отсутствие решения для 0 — 0 54
1.8.5 Модель упора для непрерывно дифференцируемых входов 54
1.9 Система "контроль-коррекция" 55
1.9.1 Общее описание системы 55
1.9.2 Математическая модель 56
1.9.3 Утверждение о локальной явности 56
1.10 Сравнение с квазидифференциальными уравнениями 57
1.10.1 КДУ и его решения 57
1.10.2 Локально явное уравнение как КДУ 59
1.10.3 Теорема о непрерывных решениях КДУ . 60
1.10.4 КДУ с разрывными решениями 62
2 Системы, содержащие локально явные уравнения 64
2.1 Замкнутая система с реле 66
2.1.1 Постановка задачи Q6
2.1.2 Теорема о дифференциальном неравенстве . 66
2.1.3 Теорема о глобальной однозначной разрешимости задачи Коши 67
2.2 Система с М-переключателем 70
2.2.1 Постановка задачи 70
2.2.2 Теорема о локальной разрешимости 71
2.2.3 Замечание об операторе сдвига 74
2.2.4 Теорема о глобальной разрешимости 74
2.2.5 Пример 76
2.2.6 Пример системы с бесконечным числом переключений 79
Замкнутая система с гистерезисным элементом типа упора 81
2.3.1 Постановка задачи 81
2.3.2 Теорема о локальной разрешимости 82
О ^-устойчивости решений обобщенных динамических систем 85
2.4.1 Определение и примеры обобщенных динамических систем 85
2.4.2 Определение ^-устойчивости; примеры . 86
2.4.3 Определение степенной устойчивости с показателем р; примеры: сравнение с экспоненциальной устойчивостью 89
2.4.4 Приведенная система 91
2.4.5 Лемма о функции типа Ляпунова 91
2.4.6 Теорема о ^-устойчивости, равномерной относительно начального момента 93
2.4.7 Теорема о ^равномерной устойчивости . 95
2.4.8 Пример: система с вырожденной линейной частью 96
2.5.1 Общий вид рассматриваемой системы 97
2.5.2 Решения системы 97
2.5.3 Постановка задачи о ^о-Устйчивости 99
2.5.4 Об обратных уравнениях 99
2.5.5 Теорема о ^о-устойчивост11 X 101
2.5.6 Пример 107
Литература 109
