Введение
I Основные свойства гамильтоновых систем с разрывной правой частью в окрестности особых экстремалей 20
1 Гамильтоновость потока особых траекторий 21
1.1 Краткое введение в теорию особых экстремалей 22
1.2 Гамильтоновы системы с негладким гамильтонианом 23
1.3 Различные определения порядков особой траектории 25
1.4 Натуральный порядок 28
1.5 Гамильтоновость потока особых траекторий 33
1.6 Ниспадающая система скобок Пуассона 36
1.7 Теоремы о единственности и сопряжении для неособых траекторий 39
1.8 Управление намагниченным волчком Лагранжа 46
2 Флаг порядков особой экстремали с задачах с многомерным управлением 56
2.1 Особые экстремали в задачах с многомаерным управлением 56
2.2 Обобщенное условие Лежандра-Клебша при многомерном управлении 57
2.3 Флаг локальных порядков 58
2.4 Флаг глобальных порядков для систем, аффинных по многомерному управлению 62
2.5 Условия сопряжения неособой траектории с особой 64
2.6 Оптимальное управление в виде обмотки клифордова тора 66
2.7 Применение теории Галуа для доказательства иррациональности обмотки клифор-дового тора 72
3 Оптимальный поток в одном классе нильпотентно-выпуклых задач 75
3.1 Класс нильпотентно-выпуклых задач 75
3.2 Формулировка теорем об оптимальном потоке 78
3.3 Существование и единственность 80
3.4 Группа почти симметрии 82
3.5 Свойства функции Беллмана 87
3.6 Доказательство теорем об оптимальном потоке 93
3.7 Достаточность принципа максимума Понтрягина в нильпотентно-выпуклои задаче
3.8 Модификация для конечного промежутка времени 96
3.9 Обратимость оптимального потока 97
3.10 Примеры 98
4 Особые траектории первого порядка в задачах с управлением из многогранника 106
4.1 Введение 106
4.2 Особые по граням траектории 108
4.3 Аналитические формулы для особых по граням траекторий 109
4.4 Поверхности особых экстремалей 112
4.5 Голономный случай 113
4.6 Сведение гамильтоновой системы для голономной задачи к модельной задаче оптимального управления 115
4.7 Модельная задача оптимального управления с многогранником 118
4.8 Структура выхода на особую траекторию и схода с нее 121
II Хаотическая динамика в гамильтоновых системах с разрывной правой частью 125
5 Первая теорема о хаотичном поведении траекторий в интегральных воронках 126
5.1 Постановка 126
5.2 Симметрии задачи и одномерные задачи Фуллера внутри 127
5.3 Барицентрические координаты в случае правильного треугольника 129
5.4 Важнейшие примеры периодических траекторий на фактор-пространстве М/д 131
5.5 Поведение оптимальных траекторий в окрестности периодических траекторий 135
5.6 Формулировка первой теоремы о хаотичном поведении траекторий в модельной задаче 137
5.7 Раздутие особенности в вершине интегральной воронки 138
5.8 Перепараметризация времени 140
5.9 Грубость автомодельных траекторий 142
5.10 Гомоклиническая траектория на нулевом сечении цилиндра С 145
5.11 Завершение доказательства первой теоремы о хаотичности 148
6 Топологические свойства отображения последования Пуанкаре 151
6.1 Топологическая структура поверхности переключения 151
6.2 Редукция по действию группы 5 3 153
6.3 Известные элементы синтеза 154
6.4 Глобальная структура отображения Пуанкаре 156
6.5 Переходы циклического и осциллирующего типа 157
6.6 Аттрактор в обратном направлении времени 157
6.7 Промежуточные области 159
6.8 Разрешение динамики на области V 163
6.9 Разрешение динамики отображений типа і? 165
6.10 Динамика отображений типа А и С 167
7 Фрактальная структура гиперболических липшицевых динамических систем 169
7.1 Введение 169
7.2 Локальные свойства гиперболических липшицевых отображений 170
7.3 Эволюция липшицевых поверхностей 172
7.4 Гиперболическая липшицева динамика 175
7.5 Символическая динамика на графе 178
7.6 Размерность аттрактора матричной итерационной системы 183
7.7 Оценка размерностей множества неблуждающих точек 189
8 Хаотическая динамика отображения Пуанкаре 193
8.1 Билипшицевость отображения последования Пуанкаре 193
8.2 Условия липшицевой гиперболичности 195
8.3 Сопряженность с топологической марковской цепью 199
8.4 Оценка размерностей 199
8.5 Односторонняя марковская цепь 200
8.6 Фрактальная структура отображения Пуанкаре 201
8.7 Теорема о точной структуре хаоса в оптимальном синтезе в модельной задаче с правильным треугольником 204
9 Хаотичность на конечных интервалах времени в гамильтоновых системах с раз рывной правой частью 209
9.1 Гамильтоновы системы с разрывной правой частью 209
9.2 Формулировки теорем о хаосе в гамильтоновых системах с разрывной правой частью 210
9.3 Ниспадающая система скобок Пуассона 214
9.4 Раздутие особенности в странной точке 218
9.5 Модельная задача оптимального управления на нулевом сечении CQ 221
9.6 Нильпотентизация в окрестности странной точки 223
9.7 Отображение последования Пуанкаре в гамильтоновой системе 225
9.8 Окончание доказательства хаотического поведения траекторий в общей гамильтоновой системе 230
Заключение 247
Литература
