Введение
Глава I МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЛОГИЧЕСКОЙ И ЛОГИКО-ДИДАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ 17
1.1. О системном подходе в образовании 18
О системном подходе вообще. Системный подход в образовании. О системе школьного математического образования. О системе подготовки учителей математики. Место математической логики и теории алгоритмов в системе подготовки учителей математики.
1.2. МЫШЛЕНИЕ, ЯЗЫК, ЛОГИКА 27
Мышление. Мышление и язык. Мышление и язык и логика.
1.3. ЛОГИКА И ИНТУИЦИЯ В МАТЕМАТИКЕ И В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ 39
Логика в математике. Интуиция в математике. Логика или интуиция ? Научное познание и учебный процесс. Логика и интуиция в обучении математике. Краткие выводы.
1.4. ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА И ЛОГИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 66
О традиционной логике. От традиционной логики к математической логике. Математическая логика: логика или математика? От традиционной логики к логике математической в учебном процессе.
1.5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ И В ОБРАЗОВАНИИ УЧИТЕЛЯ 74
Принципы логики в подготовке учителя математики. Роль математической логики в профессионально-педагогической направленности подготовки учителя математики. Применение математической логики к логико-лингвистическому анализу математического текста. Роль логики в преодолении ошибок в математических рассуждениях. Обучение логике в процессе обучения математике.
1.6. Роль МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ В ГУМАНИЗАЦИИ И ГУМАНИТАРИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ 102
Гуманизация общего образования. Гуманизация математического образования. Гуманитаризация образования и гуманитарный характер математики.
1.7. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ФИЛОСОФИЯ 106
Основной вопрос философии. Законы диалектики. Теория познания.
1.8. ДИДАКТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ В ОБУЧЕНИИ ОСНОВАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ 114
Принцип направленности процесса обучения на подготовку высококвалифицированного учителя математики (или принцип профессионально-педагогической направленности обучения в педвузе). Принцип научности. Принцип наглядности. Принцип связи теории с практикой. Принцип индивидуального подхода в об}чении. Принцип сознательности, активности и прочности усвоения знаний. Принцип контроля и самоконтроля в учебно.f процессе.
1.9. О ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЯХ И КОНЦЕПЦИЯХ ПРИ ОБУЧЕНИИ ОСНОВАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ 125
Закономерности внимания. Закономерности восприятия. Закономерности усвоения учебного материала и его запоминания. Закономерности мышления в учебном процессе. О ступенях абстракции знаний и уровнях усвоения знаний. Психолого-педагогические концепции обучения. Теория развивающего обучения.
Глава II ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ - ЯДРО ЛОГИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ 149
2.1. Характеристика базовых элементов методической системы обучения основам математической логики и теории алгоритмов 150
2.1.1. ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ 150
2.1.2. СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ 154
Принципы отбора содержания обучения основам математической логики и теории алгоритмов в педвузе. Программа общего курса математической логики и теории алгоритмов. Перечень учебных вопросов. Перечень дополнительных вопросов по курсу математической логики и теории алгоритмов.
2.1.3. МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ 161
Общедидактические методы обучения. Частнодидактические методы обучения. Методы обучения отдельным темам и вопросам курса математической логики и теории алгоритмов.
2.1.4. СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ 169
Учебник "Математическая логика и теория алгоритмов". Сборник задач " Задачник-практикум по математической логике". Тетрадь с печатной основой по математической логике. Методическое пособие "Контактные схемы - элементы ЭВМ". Автоматизированная контролирующая система.
2.1.5. ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ 183
Лекции. Практические занятия. Самостоятельная работа. Контроль знаний. Курсовые работы. Дипломные работы.
2.2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ ОСНОВАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ 193
2.2.1. БАЗОВЫЙ КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ 195
Содержание. Средства обучения. Сочетание форм обучения.
2.2.2. УГЛУБЛЁННЫЙ КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ 196
Содержание. Средства обучения. Сочетание форм обучения.
2.2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ В СИСТЕМЕ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ В КЛАССИЧЕСКИХ УНИВЕРСИТЕТАХ 196
Содержание. Средства обучения. Сочетание форм обучения.
2.2.4. ОБУЧЕНИЕ ШКОЛЬНИКОВ ОСНОВАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ и ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ 198
Содержание. Средства обучения. Формы обучения.
2.3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ФОРМИРОВАНИЮ СОДЕРЖАНИЯ И МЕТОДИКЕ ИЗЛОЖЕНИЯ ОСНОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ 199
2.3.1. ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ ОСНОВАМ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 199
Высказывания и операции над ними. Формулы алгебры высказываний. Тавтологии алгебры высказываний. Логическая равносильность
формул. Нормальные формы для формул алгебры высказываний. Логическое следование.
2.3.2. О ДРУГИХ РАЗДЕЛАХ КУРСА 223
Алгебра высказываний. Булевы функции. Формализованное исчисление высказываний. Логика предикатов. Аксиоматические теории. Формальные аксиоматические теории. Основы теории алгоритмов. Математическая логика и компьютеры, информатика, искусственный интеллект.
Глава III ЛОГИКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ КУРСОВ ПЕДВУЗА - ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ 232
3.1. Основные аксиоматические теории, лежащие в основе школьного курса математики, и их свойства (основания и метаматематика школьного курса математики) 233
3.1.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ГЕОМЕТРИЯ 234
Понятие доказательства - фундаментальная составляющая аксиоматической теории. Основные этапы развития аксиоматического метода в науке и учения об обосновании геометрии. Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Гильберта. Свойства аксиоматической евклидовой геометрии, построенной на основе системы аксиом Гильберта. Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля. Свойства аксиоматической евклидовой геометрии, построенной на основе системы аксиом Вейля. От геометрии Евклида к геометрии Лобачевского.
3.1.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И АЛГЕБРА 265
Математическая логика как алгебраическая наука. Математическая-
логика в педвузовском курсе алгебры и теории чисел. Что и как мы доказываем в школьном курсе алгебры ? Аксиоматическое построение числовых систем и свойства этих аксиоматических теорий. (Система натуральных чисел. Кольцо целых чисел. Поле рациональных чисел. Поле комплексных чисел. О дальнейших обобщениях понятия числа.)
3.1.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 284
Аксиоматическая теория действительных чисел - фундаментальная
основа математического анализа. Другие аксиоматические теории, лежащие в основе математического анализа. Нестандартный подход к математическому анализу как синтез логики и анализа.
3.1.4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ДРУГИЕ КУРСЫ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА 287
Математическая логика и психолого-педагогические основы обучения математике. Математическая логика и методика преподавания математики. Математическая логика и ИСТОРИЯ и МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ.
3.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ, СВЯЗАННЫЕ С ЛОГИКОЙ И ШКОЛЬНЫМ КУРСОМ МАТЕМАТИКИ
3.2.1. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ КАНТОРОВСКОЙ ("НАИВНОЙ") ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 2Э
Построение выводог (доказательств) из систем аксиом. Равносильность систем аксиом. Непротиворечивость систем аксиом. Независимость систем аксиом. Категоричность систем аксиом.
3.2.2. О ТЕОРИИ МОЩНОСТЕЙ МНОЖЕСТВ 298
Равномощные множества и мощность множества. Счётные множества. Множества разной мощности. Континуальные множества. Последовательность (ряд) кардинальных чисел. Арифметика кардинальных чисел. Континуум-гипотеза.
3.2.3. К ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ 303
Понятие упорядоченного множества. Свойства элементов и подмножеств упорядоченного множества. Плотные и непрерывные упорядоченные множества. Ещё три условия для упорядоченных множеств. Вполне упорядоченные множества. Гомоморфизмы, изоморфизмы и вложения упорядоченных множеств. Решётки как упорядоченные множества. Решётки как алгебры. Примеры решёток. Булевы алгебры. Булевы алгебры и математическая логика.
3.2.4. АКСИОМАТИЗАЦИЯ ПОНЯТИЯ ВЕЛИЧИНЫ 312
Аксиоматика системы положительных скалярных величин. Вели чины и числа. Непротиворечивость аксиоматической теории положи тельных скалярных величин. Категоричность аксиоматической теории положительных скалярных величин.
3.2.5.АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ АРИСТОТЕЛЕВЫХ СИЛЛОГИЗМОВ 318
Первоначальные понятия, аксиомы и правила вывода. Первые следствия из аксиом. Вывод аристотелевых силлогизмов.
3.2.6. Взгляд НА ОСНОВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ С ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ 321
3.3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗЛОЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ВОПРОСОВ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ 325
3.3.1. ЛОГИКА РАВНОСИЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ ПРИ их РЕШЕНИИ 326
Рациональные неравенства. Иррациональные неравенства. Логарифмические неравенства. Неравенства, содержащие модули. Уравнения, содержащие модули.
3.3.2. О ЛОГИКЕ ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ТЕОРЕМ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВ В КУРСАХ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА 333
О формулировках определений основных понятий и теорем математического анализа. Необходимые и достаточные условия. Множества и логика в анализе.
3.3.3. О ЛОГИКЕ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ
Аксиоматический аспект. Анализ и доказательство в процессе решения. О логике алгебраического метода. Логическая схема применения геометрических преобразований. 336
3.3.4. О ЛОГИКЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ТЕОРЕМ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВ 343
Существование и единственность нулевого и противоположного векторов. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Внутренняя и граничная точки геометрической фигуры. Признак равенства нулю смешанного произведения трёх векторов. О составлении треугольника из трёх отрезков. Логические аспекты теории трёхгранных углов. Доказательства и классификации с помощью разбора случаев.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 349
Список литературы 351
