Введение
Глава 1 Контракции и разделение переменных, на двумерной сфере и гипер болоидах 19
1 Системы координат и интегралы движения на S2 19
1.1 Системы координат на S2 19
1.2 Системы координат на двумерном гиперболоиде Н2 23
1.3 Системы координат на евклидовой плоскости Е2 26
1.4 Системы координат в псевдо-евклидовом пространстве Eiti 28
2 Контракции алгебр и групп Ли 30
2.1 Контракции от so(3) к е(2) 30
2.2 Контракции от группы SO(3) к группе Е{2) 31
2.3 Контракции от so(2,1) к е(2) 32
2.4 Контракции от so(2,l) к е(1,1) 32
3 Контракции систем координат 33
3.1 Контракции систем координат на S2 33
3.2 Контракции систем координат от Яг к Ег 36
3.3 Контракции от систем координат на Н2 к E\ti 40
4 Контракции базисных функций на S2 и Н2 40
4.1 Контракции сферического базиса на S2 40
4.2 Контракции эллиптического базиса на S2 44
4.3 Контракции псевдо-сферического базиса на Н2 49
4.4 Контракции эквидистантного базиса на Н2 50
Глава 2 Контракции и разделение переменных на трехмерной сфере 53
1 Системы координат на 5з и Ез 53
1.1 Эллиптические системы координат 54
1.2 Эллипсоидальная система координат 58
1.3 Системы координат в Евклидовом пространстве Ез G1
2 Контракция алгебры SO(3), систем координат и интегралов движения 64
2.1 Контракция алгебры so(3) 64
2.2 Контракции подгрушювых систем координат и базисов 64
2.3 Контракции в межбазисных разложениях 67
2.4 Контракции в эллиптических системах координат 71
2.5 Контракции эллипсоидальной системы координат 72
3 Эллиптические базисы 73
3.1 Разложение эллиптического базиса по цилиндрическому 73
3.2 Разложение эллиптического базиса по сферическому 76
3.3 Переход к гиперсферическому и цилиндрическому 79
4 Эллипсоидальный базис 81
4.1 Решение волнового уравнения Ламэ 81
4.2 Эллипсоидальные волновые функции 84
Глава 3 Контракции и разделение переменных на N - мерной сфере 87
1 Разделение переменных в N - мерных однородных пространствах 87
1.1 Подгрупповне системы координат на SN и метод деревьев 88
1.2 Гиперсферические волновые функции иа^п 90
1.3 Подгрупповые координаты на Еп и кластерные диаграммы 92
2 Контракции алгебры Ли, систем координат и собственных функций 9G
2.1 Контракции подгрупповых систем координат. Графический метод 9G
2.2 Контракции волновых функций 98
3 Межбазисные разложения и контракции 101
3.1 Переходы между гиперсферическими функциями 101
3.2 Контракции в межбазисных разложениях 10G
Глава 4 Суперинтегрируемость в комплексном пространстве Е^с 117
1 Сунеринтегрируемые системы В *2С 117
1.1 Невырожденные потенциалы 120
1.2 Квадратичная алгебра 128
2 СуперИНТСГрируеМЫе СИСТеМЫ В i?2 132
2.1 Обобщенный круговой осциллятор 132
2.2 Потенциал Холта 136
2.3 Обобщенный кулоновский потенциал 137
2.4 Потенциал Винтернитца-Смородинского 140
3 Межбазисные разложения 142
3.1 Вычисление матрицы перехода 142
3.2 Связь с коэффициентами Клебша-Гордана группы SU(l, 1) 143
Глава 5 Суперинтегрируемые системы на комплексной сфере S2C 146
1 Суперинтегрируемость на комплексной сфере Бгс 146
1.1 Суперинтегрируемые потенциалы па Бгс 147
1.2 Системы координат на комплексной сфере 52,с 151
1.3 Квантовая сунериптгерируемость и квадратичная алгебра 152
2 Кулон-осцилляториая дуальность 154
2.1 Преобразование Леви-Чивиты на и Я2 154
2.2 Решение комплексного уравнения Шредингера 158
3 Суперинтегрируемость на 5г 163
3.1 Сингулярный осциллятор 163
3.2 Сингулярный кулоновский потенциал 165
4 Суперинтегрируемые системы на #2 167
Глава 6 Многомерные суперинтегрируемые системы 184
1 Трехмерные суперинтегрируемые системы 184
1.1 Сингулярный изотропный осциллятор 185
1.2 Анизотропный осциллятор 192
1.3 Сингулярный кулоновский потенциал 194
2 N-мерные суперинтегрируемые системы 198
2.1 Декартовый и гиперсферический базисы 198
2.2 Связь между декартовым и гиперсфериеским базисом 201
2.3 Дерево перехода и правила соответствия 203
3 Кулоновская проблема на 5з 204
3.1 Обобщенное преобразование Кустанхеймо-Штифеля 205
3.2 Кулон-осцилляторная дуальность 207
3.3 Эллиптический базис 209
4 Кулон-осцилляторная аналогия на сфере и гиперболоидах 213
4.1 Кулон-осцилляторная связь на Sn . 213
4.2 Кулон-осциляториая связь на n-мерном двухполосіюм гиперболоиде 216 Ф
4.3 Кулон-осщгляторная связь на гс-мерном однополосном гиперболоиде 219
Заключение 223
Приложение 224
Литература 227
